1、等差数列的综合应用,一、等差数列的性质及其应用,二、等差数列中的Sm+n公式及应用,三、等差数列在非数列问题中的应用,一、通项公式,1、an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)=pn+q (其中p=d,q=a1-d),所以当d0时，an是关于n 的一次函数,2、an=am+(n-m)d,二、等差中项,1、在等差数列an中，从第2项起，每一项都是与它 等距离 两项的等差中项,2、序号成等差数列的项又组成一个等差数列，即ak,ak+m,ak+2m , 仍是等差数列，公差为md(k,mN*),三、下标和定理 在等差数列a中，若m+n=p+q,则ap+aq=am+an,例1、在等差数列an中，a1
2、+a8+a13+a18=100,求a10,解：注意到已知式中各项下标和1813 1840410,a1+a8+a13+a18=4a10=100,a10=25,四、前n项和,1、d0时，Sn为关于n的二次函数且不含常数项，记作Sn=An2+Bn(是判断等差数列的充要条件),也可用来求Sn的最值,2、连续m个项之和仍组成一个等差数列， 即Sm， S2m-Sm，S3m-S2m仍成等差数列,公差 为m2d,若项数为2n-1,则S2n-1(2n-1)an,且S奇S偶an,3、若项数为2n，则S2n=n(an+an+1),且S偶- S奇=nd,。,。,2,例2、等差数列an中，a10,S4=S9,则Sn取最
3、大值时， n= 。,S4S9 则对称轴为 n=(4+9)/2=6.5,又,n=6或7时，Sn最大,解：设Sn=An2+Bn,如图,。,例3、在等差数列an中，S10=40,S20=70, 求S30,解：S10，S20S10，S30S20成等差数列， 则 40, 30, S30-70成等差数列, 所以S3090,公式：设等差数列an的Sm=a, Sn=b, 则Sm+n=,证明：设等差数列an的首项为a1,公差为d，则,(1)-(2)得,故Sm+n=(m+n)a1+ (m+n)(m+n-1)d=(m+n)a1+ (m+n-1)d=,2、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m
4、项和为（ ）A、130 B、170 C、210 D、260,2,课堂练习三,1.设等差数列an的前n项和为Sn，且S10=100， S100=10，试求S110.,例4、解方程,令,当d= 时，,当d= 时，,例5、已知a、b、c，且a=6-b, c2=ab-9 . 求证：a=b,证明： a+b=6=23, a、 3、 b 成等差数列,a=3-d , b=3+d 则ab=9-d2 、c2=ab-9, c2+d2=0 c=d=0, a=b=3 即 a=b,例6、已知x、y满足3x+2y-12=0, 求xy的最大值。,解：3x+2y=26,3x、6、2y成等差数列,3x=6-d, 2y=6+d,xy=6-,当d=0时，xymax=6,解法1：由题意可得 x0，y0, 12=3x+2y,xymax=6,xymax=6,解法2:,课后作业,优化设计： 3.2 等差数列,预习： 等比数列,
