1、33 导数的应用,1知识与技能 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 2过程与方法 通过对函数单调性与导数关系的研究，掌握用导数研究函数单调性的方法 3情感、态度与价值观 通过实例探究函数的单调性与导数的关系，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力,本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点：函数的导数与单调性的关系,1用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学
2、思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的 2利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间,1设函数yf(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内是 的； (2)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内是 的 2如果函数yf(x)在x的某个开区间内，总有f(x)0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间上为 ；如果函数yf(x)在自变量x的某区间上，总有f(x)0，则f(x)在这个区间上为 ,单调递增,单调递减,严格增函数,严格减函
3、数,例1 求函数f(x)3x22lnx的单调区间 解析 函数的定义域为(0，),解析 (1)函数f(x)的定义域为R f(x)3x23，令f(x)0，则3x230. 即3(x1)(x1)0，解得x1或x1. 函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，) 令f(x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x1. 函数f(x)的单调递减区间为(1,1),说明 实质上就是证明不等式f(x)0在(0,2)上恒成立,解析 f(x)的定义域为(1,1)，函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性,当b0时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上是增函数 又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象
4、关于原点对称，所以可知： 当b0时，f(x)在(1,1)上是减函数； 当b0时，f(x)在(1,1)上是增函数,例4 已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围 解析 解法1：f(x)abx2(1x)t(x1)x3x2txt. f(x)3x22xt， 函数f(x)在(1,1)上是增函数 f(x)0对x(1,1)恒成立， 3x22xt0在(1,1)上恒成立,解法2：依题意，得f(x)x2(1x)t(x1) x3x2txt. f(x)3x22xt. 函数f(x)在区间(1,1)上是增函数， f(x)0对x(1,1)恒成立 又f(x)的图象
5、是开口向下的抛物线， 当且仅当f(1)t10，且f(1)t50时，即t5时，f(x)在区间(1,1)上满足f(x)0. 即f(x)在(1,1)上是增函数 故t的取值范围是t5.,规律方法 已知函数的单调性，确定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.,解析 所给函数为非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性及函数定义域的确定 函数f(x)的定义域为(0,2)，,一、选
6、择题 1函数yx3的递减区间是 ( ) A(，) B(0，) C(，0) D不存在 答案 D 解析 y3x20，(xR)恒成立， 函数yx3在R上是增函数,2函数f(x)2xsinx在(，)上 ( ) A是增函数 B是减函数 C在(0，)上增，在(，0)上减 D在(0，)上减，在(，0)上增 答案 A 解析 f(x)2cosx0在(，)上恒成立,3(2009广东文，8)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是 ( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 答案 D 解析 考查导数的简单应用 f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D.,二、填空题 4函数f(x)x3x的增区间是_和_，减区间是_,5已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是_ 答案 a3 解析 由题意应有f(x)3x2a0在区间(1,1)上恒成立， 即a3x2，因为x(1,1)，故a3.,三、解答题 6已知x1，求证xlnx. 证明 设f(x)xlnx(x1),
