1、1,第七章 直线与圆的方程,两直线的位置关系,第 讲,2,(第一课时),2,3,4,1. 设直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1l2的充要条件是_且_;l1l2的充要条件是_. 2. 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则当 时,l1与l2_;当 时,l1与l2_;当 时,l1与l2_;当 时,l1与l2_.,k1=k2,b1b2,k1k2=-1,重合,平行,相交,垂直,5,3. 设两相交直线l1,l2的交点为P,把直线l1绕点P按_方向旋转到与l2重合时所转过的最小的角,叫做_的角;直线l1与l2所夹的_叫做l1与l2的夹角;规定:两条
2、平行直线的夹角为 _. 4. 设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l1到l2的角为,l1与l2的夹角为,则l2到l1的角为 _;tan= ;tan= _.,逆时针,l1到l2,锐角或直角,0,-,6,5. 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= _;两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0 (C1C2)之间的距离d= _. 6. 经过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 _.,(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0 (,R),7,1.直线x+y-1=0到直线xsin+yc
3、os-1 =( )的角是( )解:由 因为 所以 所以 所以,D,8,2.已知点P是直线l上的一点,将直线l绕点P逆时针方向旋转(090)角,所得直线方程是x-y-2=0,若将它继续旋转90-角,所得直线方程是2x+y-1=0,则直线l的方程是( ) A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0 C. x+2y-5=0 D. x-2y-3=0 解:因为直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的交点(1,-1),且又与直线2x+y-1=0垂直, 所以直线l的方程为y+1= (x-1),即x-2y-3=0.,D,9,3.ABC中,a、b、c是内角A、B、C的对边,且lgsinA,lgsin
4、B,lgsinC成等差数列,则下列两条直线l1:(sin2A)x+(sinA)y-a=0,l2:(sin2B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是 . 解:由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC, 得lg(sinB)2=lg(sinAsinC), 所以sin2B=sinAsinC.,l1与l2重合,10,设l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0. 因为所以 所以l1与l2重合.,11,1. 已知两直线l1:mx+8y+n=0和 l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值,使: (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1l2; (3)l1l2,且l1
5、在y轴上的截距为-1.,题型1 两条直线的位置关系的条件分析,12,解:(1)因为m2-8+n=0且2m-m-1=0, 所以m=1,n=7. (2)由A1B2-A2B1=0,得mm-82=0,故m=4. 由8(-1)-nm0,得n2. 即当m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2. (3)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2. 又 =-1,所以n=8. 即当m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,13,点评:两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解.两直线平行的问题,一般是先根据其必要条件A1B2-A2B1=0
6、来求得参数的值,然后检验两直线是否重合,排除重合的情况,就是平行.而两直线垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.,14,15,16,17,2. 已知三条直线l1:2x-y+a=0 (a0),直线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2间的距离是 (1)求a的值; (2)求l3到l1的角; (3)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件: P是第一象限的点; P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ;,题型2 角和距离的分析与计算,18,P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由. 解:(1)l2即 所以l1与l2间的距离 所以
7、 所以 因为a0,所以a=3.,19,(2)由(1)知,l1即2x-y+3=0,所以k1=2. 而l3的斜率k3=-1, 所以 因为0,所以=-arctan3. (3)设点P(x0,y0).若P点满足条件,则P点在与l1,l2平行的直线l:2x-y+C=0上. 且 即 或 所以 或,20,若P点满足条件,由点到直线的距离公式, 有即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 由P在第一象限,所以3x0+2=0不可能, 联立方程 解得 (舍去). 由 解得,21,所以 即为同时满足三个条件的点. 点评:点到直线的距离及两平行直线间的距离公式是求距离中最
8、常用的公式,而夹角公式和到角公式是求有关角常用的公式.四个公式的综合运用体现了数形结合思想.求解时,常借助于简单的草图进行直观理解.,22,某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80 m,塔所在的山高OB=220 m,OA=200 m,图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为,tan= .试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高).,23,解:如图所示,建立平 面直角坐标系,则A(200,0), B(0,220),C(0,300). 直线l的方程为y=(x-200)tan, 则 设点P的坐标为P(x,y)(x200). 由
9、经过两点的直线的斜率公式得,24,由直线PC到直线PB的到角公式得要使tanBPC达到最大,只需 达到最小. 由均值不等式知 当且仅当 时上式取得等号.,25,故当x=320时,tanBPC最大,这时, 点P的纵坐标为 由此实际问题知0BPC , 所以tanBPC最大时,BPC最大. 故当此人距水平地面60 m高时, 观看塔的视角BPC最大.,26,3. 过点A(1,1)作两直 线l1,l2,使l1l2,且l1交x轴 于点M,l2交y轴于点N,P为 线段MN的中点.已知直线 PA的斜率为-2,求点P的坐标. 解法1:设点P(x0,y0),连结PO. 因为MAN和MON都是直角三角形, P为MN
10、的中点, 所以 故|PA|=|PO|.,题型3 求点的坐标,27,所以(x0-1)2+(y0-1)2=x02+y02,即x0+y0=1. 又kPA=-2,即 所以2x0+y0=3. 联立,解得x0=2,y0=-1. 所以点P的坐标为(2,-1). 解法2:设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 因为l1l2,所以l2的方程为y-1=- (x-1). 从而M(1- ,0),N(0,1+ ). 因为P为线段MN的中点,所以,28,因为kPA=-2,所以 即 所以 所以 所以点P的坐标为(2,-1). 点评:涉及求交点或中点坐标问题时,一般是先设点的坐标参数,然后由题中条件得出所求参数的方程(组)
11、,再通过解方程(组)求得坐标参数.,29,已知两点A(2,5)、B(-2,1),P为y轴负半轴上一点,直线PA、PB分别与直线y=x相交于点M、N.若|MN|= 求点P的坐标. 解:连结AB,如图. 因为 所以ABMN. 又所以|AB|=2|MN|.,30,从而MN为APB的中位线, 所以M为PA的中点. 设点P(0,y0),则M(1, ). 因为点M在直线y=x上, 所以 =1,得y0=-3. 故点P的坐标是(0,-3).,31,1. 要认清直线平行、垂直的充要条件,应特别注意x,y的系数中一个为零的情况的讨论.两直线的位置关系要分斜率不存在和斜率存在两种情况来讨论.两直线平行要从斜率和截距两方面入手. 2. 涉及三角形的问题,要充分利用三角形的平面几何性质,简化代数运算. 3. 出现角度问题时,要分清是利用夹角公式还是到角公式.,32,4. 考虑斜率问题时,要注意斜率不存在这种特殊情形. 5. 点到直线的距离公式是一个基本公式,它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.,