1、第四节 函数y=Asin(x+)的图象 及三角函数模型的简单应用,三年12考 高考指数: 1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义，能画出y=Asin(x+)的图象，了解参数A、对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.,1.图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点. 2.结合三角恒等变换考查y=Asin(x+)的性质及简单应用是考查的热点.,1.用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点,作图时的一
2、般步骤为:,(1)定点：先确定五点.即令x+分别等于 得对应的五点为： _, _，_,_,_. (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象. (3)扩展：将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+)在R上的图象.,【即时应用】 用五点法作函数y= 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.,【解析】分别令 可求出x的值分别为 又因为A=1, 所以需要确定的五个点为： 答案：,2.三角函数图象的变化规律(其中A0，0) (1)先平移后伸缩 y=sinx的图象 y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象y=
3、Asin(x+)的图象y=Asin(x+)+k的图象,A,(2)先伸缩后平移 y=sinx的图象 y=Asinx的图象y=Asinx的图象y=Asin(x+)的图象 y=Asin(x+)+k的图象,A,【即时应用】 (1)y 的图象是由ysinx的图象向_平移_个单位得到的. (2)y 的图象是由ysinx的图象向_平移_个单位得到的. (3)y 的图象是由y 的图象向_平移_个单位得到的. (4)y= 图象是由y=sin2x的图象向_平移_个单位得到的.,【解析】(1)(2)(3)根据图象变化规律易求. (4)y= 将y=sin2x的图象向左平移 个单位长度就得到的图象. 答案：(1)左 (
4、2)右 (3)右 (4)左,3.函数y=Asin(x+)的物理意义 在物理学上，当函数y=Asin(x+)(A0,0),x0,+) 表示简谐运动时，则A叫做_，T= 叫做_， 叫做_，x+叫做_，x=0时的相位叫做_.,振幅,周期,频率,相位,初相,【即时应用】 如图，它表示电流I=Asin(t+)(A0,0,| )在一个周期内的图象. 试根据图象写出I=Asin(t+)的解析式：_，其频率 f=_.,【解析】由图象知 所以 所以 由 得 (kZ),所以I= T= 即f= 答案：I=,函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象及其图象变换 【方法点睛】 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图
5、象的作法 (1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图，主要是通 过变量代换，设z=x+，由z取 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.,(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同.,【例1】画出函数y xR的简图. 【解题指南】作函数y 的图象可用五点作图或图象变换法.,【规范解答】方法一：五点法 由T 得T，列表：,描点画图：将所得图象按周期向两侧扩展可得y= 在
6、R上的图象.,方法二：图象变换法 ysinx y将所得图象按周期向两侧扩展可得 在R上的图象.,【反思感悟】1.五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图象. 2.用图象变换法作图仅能作出简图.,【变式训练】试述如何由y= 的图象得到y=sinx的图象. 【解析】方法一：y=sinx,方法二： (1)先将 的图象向右平移 个单位，得到的图象； (2)再将 图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得到 的图象； (3)再将 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx的图象.
7、,由图象求解析式 【方法点睛】 确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m, 则A= (2)求，确定函数的周期T，则可得=,(3)求，常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).,五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第 一个点为突破口.具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x+=0;“第二 点”(即图象的“峰点”)时x+= ;“第三点”(即图象下 降时与x轴的交点)时x+=;“第四点”(即图象的“谷 点”)时x+=
8、；“第五点”时x+=2. 【提醒】在求时要注意已知中所给的的范围.,【例2】(1)如图是函数yAsin(x)2(A0,0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( ),(2)如图是函数yAsin(x)(A0,0)的图象的一段，它的解析式为( ),(3)如图是f(x)Asin(x)，A0，0, 的一段图象，则函数f(x)的解析式为_.,【解题指南】由图象确定三角函数yAsin(x)的解析式，首先确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求；最后根据所给的数据求.,【规范解答】(1)选C.由图象知，所以 由 得当k=-1时，=,(2)选D.由图象知 所以T=， 所以=2；又由 kZ， 所以当k=
9、-1时，= 所以y=,(3)由图象得A=2，当x=0时， 因为 所以= ，所以由题图可知 =3.所以y= 答案：y=,【互动探究】把本例中(3)的图象改为如图，其他不变，如何求解？,【解析】由图象知 所以T=16，则= ;由kZ,| ,得 .所以函数的表达式 为：,【反思感悟】1振幅A与最值有关；与周期T有关；初相用待定系数法求解; 2利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重; 3要善于观察图象，抓住图象的特征.,【变式训练】函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| ) 的部分图象如图所示. (1)求，. (2)求函数的图象的对称轴和对称中心.,【解析】(1)由图象知A=1，T=, 由 得
10、 | ,=,(2)由(1)得y= 由 得, 函数f(x)的对称轴为 (kZ). 又由 得x= (kZ), 故对称中心为 (kZ).,三角函数性质的应用 【方法点睛】 函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 (1)奇偶性 =k(kZ)时，函数y=Asin(x+)为奇函数； = (kZ)时，函数y=Asin(x+)为偶函数. (2)周期性 y=Asin(x+)存在周期性，其最小正周期为T=,(3)单调性 根据y=sint和t=x+的单调性来研究，由 x+ ,kZ得单调增区间；由 x+kZ得单调减区间.,(4)对称性 利用ysinx的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令x+= k(kZ),求得x
11、. 利用y=sinx的对称轴为x= (kZ)求解,令x+=(kZ),得其对称轴.,【例3】已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| )的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2,-2),(1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)求f(x)的增区间； (3)若x-,，求f(x)的值域. 【解题指南】根据已知条件结合图象先求出解析式，再根据解析式求出单调区间和值域.,【规范解答】(1)由图象知A=2，由 得T=4， 所以 f(0)=2sin=1，又| ，= f(x)= 由f(x0)= 又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点
12、，x0=,(2)由 kZ得所以f(x)的增区间为 kZ. (3)-x， 所以 所以 f(x)2， 所以f(x)的值域为,【反思感悟】求三角函数y=Asin(x+)的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数y=sinx的性质为基础.另外在求解时要注意所给的范围和的取值.,【变式训练】求函数 的周期、最大值和最小值 【解析】因为 所以，周期 最大值为2，最小值为-2.,【变式备选】已知函数f(x)=Asin(x+),xR(其中A0,0, 0 )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 , 且图象上的一个最低点为 (1)求f(x)的解析式； (2)当x 时，求f(
13、x)的值域.,【解析】(1)由最低点为 得A=2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为 得 即T=， 由点 在图象上，得 即 故 = kZ. 又 故f(x)=,(2) 当 即x= 时，f(x)取得最大值2; 当 即x= 时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为 -1，2.,三角函数模型的简单应用 【方法点睛】 三角函数模型的实际应用和解题步骤 (1)三角函数模型的应用主要有： 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象； 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型； 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.,(2)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是
14、已知三角函数模型，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是合理建模.,【例4】估计某一天的白昼时间的小时数f(t)的表达式是f(t) = 其中t表示某一天的序号，t=0表示1月 1日，依次类推.常数与某地所处的纬度有关.(取3.14) (1)在波士顿,=6，试画出当t0,365时函数f(t)的图象； (2)在波士顿哪一天的白昼时间最长？哪一天的白昼时间最短？,【解题指南】由题目中的已知条件，利用五点法画出g(t)=的图象，再向上平移12个单位可得f(t)的图 象，再利用图象可得白昼时间
15、最长与最短的时间.,【规范解答】(1)先用五点法作出y=g(t)= 的简图. 令 分别等于 得到下表：若t=0,g(0)= 3sin(-1.36)-2.9.,因为函数g(t)的周期为365, 所以g(365)-2.9. 将函数g(t)在0,365上的图象 向上平移12个单位长度，就得到 函数f(t)的图象.,(2)白昼时间最长的一天，即f(t)取得最大值的一天，此时t=170,对应的是6月20日(闰年除外).类似地，t=353时,f(t)取得最小值，即12月20日白昼时间最短.,【反思感悟】三角函数应用模型的三种模式 (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解
16、决一些实际问题； (2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题； (3)搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.,【变式训练】以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最
17、大？并说明理由.,【解析】6月份盈利最大，由条件可得：出厂价格y1与月份x的 函数关系式为 销售价格y2与月份x的函数关系式为 则利润函数关系式为: y=m(y2-y1)所以，当x=6时，y= 即6月份盈利最大.,【易错误区】有关三角函数性质的易错点 【典例】(2011天津高考)已知函数f(x)=2sin(x+),xR, 其中0,-.若f(x)的最小正周期为6,且当 时,f(x)取得最大值,则( ),(A)f(x)在区间-2,0上是增函数 (B)f(x)在区间-3,-上是增函数 (C)f(x)在区间3,5上是减函数 (D)f(x)在区间4,6上是减函数 【解题指南】求出函数f(x)的解析式,再
18、根据三角函数的性质判断.,【规范解答】选A.由题意可得 f(x) 当 即 kZ时函数是 增函数,所以f(x)在-2,0上是增函数，故选A.,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011山东高考)若函数f(x)=sinx(0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则=( )【解析】选C.由f(x)=sinx(0)知其图象过原点，所以解得,2.(2011安徽高考)已知函数f(x)=sin(2x+)，其中为实 数，若f(x) 对xR恒成立，且 f()，则f(x)的 单调递增区间是( ),【解析】选C.由f(x) 对xR恒成立知，(kZ)，得到
19、或 (kZ)， 代入f(x)并由 f()检验得，的取值为 (kZ)， 不妨取 所以 计算得单调递增区 间是 (kZ).,3.(2011江苏高考)函数f(x)= Asin(x+)(A,为常数,A0， 0)的部分图象如图所示，则f(0) 的值是_.,【解析】根据图象可知A= ，四分之一周期为 所以周期为 ，由 根据五点作图法可知 (kZ)， 解得= (kZ),令k=0得= ， 所以解析式为 所以f(0)= 答案：,4.(2012佛山模拟)若函数f(x)= 在区间上的最大值为6, (1)求常数m的值及f(x)的对称中心; (2)作函数f(x)关于y轴的对称图象得函数f1(x)的图象,再把f1(x) 的图象向右平移 个单位得f2(x)的图象,求函数f2(x)的单调递 减区间.,【解析】(1)f(x)=mf(x)3+m,3+m=6. m=3,f(x)= f(x)的对称中心为,(2)f2(x)的单调递减区间是,
