1、选修4-1 几何证明选讲 第一讲 相似三角形的判定及有关性质,共 39 页,1,回归课本,共 39 页,2,相似三角形的判定及有关性质 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.,共 39 页,3,2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比对应中线的比对应角平分线
2、的比都等于相似比; 相似三角形周长的比外接圆的直径比外接圆的周长比都等于相似比; 相似三角形面积的比外接圆的面积比都等于相似比的平方;,共 39 页,4,4.直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.,共 39 页,5,考点陪练,共 39 页,6,1.如图,DE分别是ABC的边ABAC上的点,DEBC,且2,那ADE与四边形DBCE的面积比是_.,共 39 页,7,共 39 页,8,2.如图,AA1与BB1相交于点O,ABA1B1且AB=A1B1.若AOB的外接圆的直径为1,则A1OB1的外接圆的直径为_.,共
3、 39 页,9,解析:ABA1B1且AB=A1B1, AOBA1OB1, 两三角形外接圆的直径之比等于相似比. A1OB1的外接圆直径为2. 答案:2,共 39 页,10,3.(2010湛江质检)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,CD=2,BD=3,则AC=_.,共 39 页,11,共 39 页,12,4.如图所示,ABC中,D为BC中点,E在CA上且AE=2CE,ADBE交于F,则,共 39 页,13,共 39 页,14,5.一直角三角形的两条直角边之比是1: 3,则它们在斜边上的射影的比是_.,共 39 页,15,解析:如图,在直角三角形ABC中, BCAC=13, 作C
4、DAB于D, 由射影定理得BC2=BDAB, AC2=ADAB, 则故它们在斜边上的射影的比是1: 9. 答案:1: 9,共 39 页,16,类型一 平行线(等)分线段成比例定理 解题准备:解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本图形,看清楚被平行线组截得的线段.,共 39 页,17,【典例1】 如图,F为ABCD边AB上一点,连接DF交AC于G,并延长DF交CB的延长线于E. 求证:DGDE=DFEG.,共 39 页,18,分析 由于条件中有平行线,考虑平行线(等)分线段定理及推论,利用相等线段(平行四边形对边相等),经中间比代换,证明线段成比例,得出等积式.,共 39 页,19,共 3
5、9 页,20,反思感悟 在有关比例问题的证明中,要结合平行线分线段成比例定理,构造平行线解决.平行线分线段成比例定理是几何选讲的基础内容,要熟练掌握.,共 39 页,21,类型二 相似三角形的判定及性质 解题准备:相似三角形的判定及性质的运用,是几何证明的基础,要注意比例线段在研究相似图形中的作用.应用三角形相似既可推理证明,还可以计算线段的长度,我们常常利用相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系,列方程计算出未知量的值.,共 39 页,22,【典例2】 如图所示,梯形ABCD中,ABCD,且AB=2CD,EF分别是ABBC的中点,EF与BD相交于点M. (1)求证:EDMFBM; (2)若
6、DB=9,求BM.,共 39 页,23,共 39 页,24,解 1)证明:E是AB的中点, AB=2EB. AB=2CD,CD=EB 又ABCD, 四边形CBED是平行四边形. CBDE,EDMFBM.,共 39 页,25,共 39 页,26,反思感悟 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,若题目条件涉及平行线可选择判定定理1或判定定理2.,共 39 页,27,类型三 射影定理及应用 解题准备:直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角三角形中的应用,在直角三角形中,灵活利用射影定理,可简化某些命题的证明和线段的计算. 特别提醒:应用射影定理有两个前提条件:是直角三角形;是斜边
7、上的高线.,共 39 页,28,【典例3】 如图,在ABC中,DF分别在ACBC上,且ABAC,AFBC,BD=DC=FC=1,求AC.分析 本题中有多处垂直关系,要注意直角三角形射影定理的合理应用.,共 39 页,29,解 在ABC中,设AC为x, ABAC,AFBC,FC=1, 根据射影定理得:AC2=FCBC,即BC=x2. 再由射影定理得: AF2=BFFC=(BC-FC)FC,共 39 页,30,共 39 页,31,反思感悟 本题体现了基本图形基本性质的综合应用.还应该注意,作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.,共 39 页,32,错源 分类不当考虑不全致误 【典例】 已
8、知AD是ABC的BC边上的高,若AD2=BDCD,则ABC的形状是_. 剖析 我们知道:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项.反之,因三角形的一边上的高可能在三角形外,因此,原定理的逆命题是不成立的,即题中ABC不一定是直角三角形.,共 39 页,33,正解 若点D在线段BC上,如图(1)所示,由AD2=BDCD,可证ABDCAD,从而可得ABC是直角三角形.若点D在BC的延长线上,如图(2)所示,则仍可证ABDCAD,但ABC是钝角三角形. 综上所述,ABC是直角三角形或钝角三角形.,共 39 页,34,评析 在几何图形中,分类讨论的数学思想是一种重要的思想方法,例如
9、本题的三角形之高可能在三角形内或三角形外.又如直角三角形的直角顶点是哪一点,等腰三角形的腰是哪两边,相似三角形的对应顶点是什么,诸如此类,必须分类讨论.,共 39 页,35,技法 判定两个三角形相似的几种方法 判定两个三角形相似的几种方法:两角对应相等,两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的定义.,共 39 页,36,【典例】 如图,已知 ABCD中,G是DC延长线上一点,AG分别交BD和BC于EF两点,证明:AFAD=AGBF.,共 39 页,37,共 39 页,38,方法与技巧 一般地,证明等积式成立,可先将其化成比例式,再根据三角形相似证明其成立.三角形相似具有传递性,如果A1B1C1A2B2C2,A2B2C2A3B3C3,那么A1B1C1A3B3C3.,共 39 页,39,
