1、题型一 导数与不等式 例1 (2010安徽)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 aln21且x0时，exx22ax1.,【解析】 (1)由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a),(2)设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当aln21时，g(x)最
2、小值为g(ln2)2(1ln2a)0. 于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增 于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.,探究1 本题是将不等式证明转化为求函数的最值，体现了函数与不等式之间的联系 借助函数单调性、最值、恒成立等知识证明函数不等式是近几年高考热点,x1，)时，h(x)0. h(x)在x1，)上单调递增 故x1，)时，h(x)h(1)0 所以对x(，)，恒有h(x)0， 又x20，因此f(x)g(x)0， 故对x(，)，恒有f(x)g(x),题型二
3、导数与方程 例2 已知函数f(x)xln(xa)在x1处取得极值 (1)求实数a的值；,当x变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：,探究2 讨论方程根的个数或函数的零点，关键根据题意，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析解决,(2)若函数f(x)x33ax1，在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的范围 【解】 f(x)3x23a f(x)在x1处取得极值， f(1)3(1)23a0，a1. f(x)x33x1，f(x)3x23， 由f(x)0解得x11，x21. 由()中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f
4、(1)1，在x1处取得极小值f(1)3. 直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1),题型三 导数与最优化问题,(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值,探究3 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案,思考题3 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？,当x15时，f(x)0； 当10x15时，f(x)0. 因此，当x15时， f(x)取最小值f(15)2000(元) 答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层,
