1、1单调性的概念 (1)设D是f(x)定义域内的一个区间，对于任意的x1、x2D，若 ，则称f(x)在区间D上为增函数；若 ，则称f(x)在区间D上为减函数 (2)定义在区间D上的 叫做单调函数,x1x2时都有f(x1)f(x2),x1f(x2),增函数 减函数,2函数单调性的判定方法 (1)定义法：利用定义 (2)图象法：作出函数图象 (3)复合函数法：g(x)的值域应该是f(x)的定义域的子集对于复合函数yfg(x)，如果内、外层函数单调性相同，那么yfg(x)为 ，如果内、外层函数单调性相反，那么yfg(x)为 ,增函数,减函数,(4)导数法：设yf(x)在定义域的给定区间上可导，如果 ，
2、那么f(x)为增函数；如果 ，那么f(x)为减函数 (5)性质法：在公共的定义域上，()若f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)为 ；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为 ；若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为 ,f(x)0,f(x)0,增(减)函数,增函数,减函数,()奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性 ()互为反函数的两个函数具有 的单调性 3证明函数单调性的方法 (1) ；(2),相同,相反,相同,定义法,导数法,答案 (1)(，1)，(1，) (2)(1,1,答案 D,3函数yx2b
3、xc(x0，)是单调函数，则b的取值范围是( ) Ab0 Bb0 Cb0 Db0 答案 A,4函数f(x)log0.5(x22x8)的增区间_；减区间_ 答案 (，2)，(4，) 解析 先求函数的定义域，令x22x80，得x4或x2，通过图象得函数ux22x8，在x4时，单调递增，在x2时递减，所以原函数f(x)log0.5(x22x8)在(4，)上递减，在(，2)上递增,5若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若ab0，则有( ) Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)0 ab，ba f(a)f(b)，f(b)f(a)，选A.,题型一
4、 判断或证明函数的单调性,探究1 (1)判断函数的单调性有三种方法： 图象法；利用已知函数的单调性；定义法 (2)证明函数的单调性有两种方法： 定义法；导数法,思考题1 设函数f(x)2xa2x1(a为实数)若a0，用函数单调性定义证明：yf(x)在(，)上是增函数 【解析】 设任意实数x1x2， 则f(x1)f(x2) (2x1a2x11)(2x2a2x21) (2x12x2)a(2x12x2),题型二 求函数的单调区间,探究2 (1)作函数图象，利用数形结合求函数的单调区间，是最基本的方法 (2)复合函数的单调区间： 复合函数的单调性,即“同增异减”； 求复合函数的单调区间时，要注意单调区
5、间必须在定义域内,由上表可知，函数的增区间为(2，)，减区间为(1,2),题型三 利用函数的单调性求最值,探究3 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法 (2)函数的最值与单调性的关系 若函数的闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a),(2)f(2)f(2)f(4)，f(2)1 f(4)2 321f(4)f(2)f(8) 因为f(x)f(x2)fx(x2) 所以原不等式为：fx(x2)f(8) 根据函数
6、的定义域和单调性有,探究4 本题主要是考查复合函数的单调性，当内外函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相异时，为减函数另外，复合函数的单调区间一定是定义域的子区间，在解题中，要注意这一点,1(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数) (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减” 2根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且x10时为增函数，当f(x)0时为减函数 4单调性法是求最值(或值域)的常用方法,1函数f(x)log0.5(x1)log0.5(x3)的单调递减区间是( ) A(3，) B(1
7、，) C(，1) D(，1) 答案 A,答案 A,答案 C,答案 (，0)和(2，),解析 因为f(x)为单调函数，若a0，则当x0时，f(x)ax21是单调递增函数，故当x0时，eax为单调递增函数，所以a210，又f(x)在(，)上单调，故还应满足(a21)e0a021，即需满足,6(2011衡水调研)已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间 (1)求函数f(x)x2形如n，)(nR)的保值区间； (2)g(x)xln(xm)的保值区间是2，)，求m的取值范围,解析 (1)若n0，即m2， 令g(x)10，得x1m， 所以g(x)在(1m，)上为增函数， 同理可得g(x)在(m,1m)上为减函数 若21m即m1时，,则g(1m)2得m1满足题意 若m1时，则g(2)2，得m1，矛盾 所以满足条件的m值为1.,课时作业（五）,
