1、1奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数f(x)，其定义域关于原点对称： 如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数； 如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数； 如果一个函数是奇函数(或偶函数)，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性,f(x),f(x),f(x),f(x),2证明函数奇偶性的方法步骤 确定函数定义域关于 对称； 判定f(x)f(x)(或f(x)f(x)，从而证得函数是奇(偶)函数,原点,3奇偶函数的性质 奇函数图象关于 对称， 偶函数图象关于 对称； 若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0) ； 奇函数在关于原点对称的两个区间上分别
2、单调，则其单调性 ； 偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，反之也成立,原点,y轴,0,一致,相反,4周期函数 若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数,f(xT)f(x),1对任意实数x，下列函数中的奇函数是( ) Ay2x3 By3x2 Cyln5x Dy|x|cosx 答案 C,2若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yf(x)图象上的是( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案 B 解析 函数yf(x)为奇函数， f(a
3、)f(a) 即点(a，f(a)一定在函数yf(x)的图象上,4(2010广东卷)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则( ) Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数 答案 B 解析 由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数,5(2010安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)( ) A1 B1 C2 D2 答案 A 解析 由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)
4、f(4)f(2)f(1)，又f(x)为R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.,题型一 判断函数的奇偶性,【分析】 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义进行推理判断 【解析】 (1)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数,探究1 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(x)是否等于f(x) (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它
5、的图象关于原点(或y轴)对称,(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域),(2)g(x)的定义域为R 当a0时，g(x)x2|x| g(x)(x)2|x|x2|x|g(x) 此时g(x)为偶函数 当a0时，g(a)a2， g(a)a22|a| 显然g(a)g(a)， g(a)g(a) 此时g(x)既不是奇函数，也不是偶函数,(3)方法一：f(x)的定义域为R x0时，x0 f(x)(x)22(x)x22xf(x) x0
6、时，f(0)0f(0) x0时，x0 f(x)(x)22(x)x22xf(x) 对于xR总有f(x)f(x) f(x)为偶函数,方法二：x0时，f(x)x22xx22|x| x0时，f(x)x22xx22|x| f(x)x22|x| f(x)(x)22|x|x22|x|f(x) f(x)为偶函数,题型二 奇偶性的应用,(3)f(x1)为偶函数 函数g(x)f(x1)的图象关于直线x0对称 又函数f(x)的图象是由函数g(x)f(x1)的图象向右平移一个单位而得 函数f(x)的图象关于直线x1对称,探究2 奇偶函数的性质主要体现在 若f(x)为奇函数，则f(x)f(x) 若f(x)为偶函数，则f
7、(x)f(x) 奇偶函数的对称性 奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,思考题2 (1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，满足f() 即a0. 由上述两种情况知a(，) 【答案】 (，),(2)函数yf(x2)为奇函数，则函数yf(x)的图象的对称中心为_ 【解析】 f(x2)为奇函数 f(x2)的图象的对称中心为(0,0) 又f(x)的图象可由函数f(x2)的图象向左平移两个单位而得 f(x)的图象的对称中心为(2,0),题型三 函数的周期性 例3 (09山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,
8、8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_,【解析】 由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图象关于直线x2对称，又函数f(x)在0,2上是增函数，且为奇函数，故f(0)0，故函数f(x)在(0,2)上大于0，根据对称性知函数f(x)在2,4上大于0，同理推知函数f(x)在4,8上小于0，故在区间0,8上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x2对称，故此两根之和等于4，根据f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)以8为周期，故在区间(8,0)上方程f(x)m(m0)的两根关于直线x6对称，此两根之和等于12，综上四个根之和等于8. 【答案】 8,
9、探究3 证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义。 若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(xb)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(bx)，则函数图象为轴对称图形,思考题3 f(x)的定义域为R的奇函数，且图象关于直线x1对称，试判断f(x)的周期性 【答案】 T4 【解析】 f(x)为奇函数，f(x)f(x) f(x)图象关于直线x1对称，f(x)f(2x) f(x4)f2(x4)f(x2)f(x2) f2(2x)f(x)f(x)f(x) T4,【答案】 T2,例4 已知f(x)为偶函数，且f(1x)f(1x)，当x0,1时，f(x)x1 求x5,7时，f(x)的
10、解析式,【解析】 解析一 f(1x)f(1x) f(x)f(2x)，f(x)为周期函数，T2 f(x)为偶函数 x1,0时，x0,1 f(x)f(x)x1 x5,6时，x61,0 f(x)f(x6)(x6)1x5 x6,7时，x60,1 f(x)f(x6)(x6)1x7,思考题4 已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xR，f(2x)f(2x)，当f(1)2时，f(2011)的值为_ 【解析】 因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2x)f(2x)f(x2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)f(14503)f(1)2. 【答案】 2,1研究函数的奇偶性必须坚持“定
11、义域优先”原则，因为定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数，也不是偶函数,6对于题目中既有对称性又有周期性的问题，也可画出草图寻求周期,1(2010上海春季高考)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_. 答案 0,2(2010江苏卷)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_ 答案 1 解析 令g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.,3如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上是( ) A增函数且最小值为5 B
12、增函数且最大值为5 C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为5 答案 B,解析 先考查函数f(x)在7，3上的最值，由已知，当3x7时，f(x)5，则当7x3时，f(x)f(x)5即f(x)在7，3上最大值为5.再考查函数f(x)在7，3上的单调性，设7x1f(x1)，即f(x)在7，3上是单调递增的,4(2011高考调研原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x|f(x)0x|1x3，则f()f(2)与0的大小关系是( ) Af()f(2)0 Bf()f(2)0 Cf()f(2)0 D不确定 答案 C 解析 由已知得f()0，f(2)f(2)0，因此f()f(2)0.,答案 (1,0)(
13、0,1),解析 由f(x)为奇函数，则不等式化为xf(x)0法一：(图象法)由 ，可得1x0或0x1时，xf(x)0.,课时作业（六）,1设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0. (1)证明函数f(x)为周期函数； (2)试求方程f(x)0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论,(2)f(3)f(1)0, f(11)f(13)f(7)f(9)0 故f(x)在0,10和10,0上均有两个解， 从而可知函数yf(x)在0,2005上有402个解， 在2005,0上有400个解， 所以函数yf(x)在2005,2005上有802个解,
