1、2012届高三数学苏教版一轮复习课件： 2.3 函数的奇偶性与周期性,1了解函数奇偶性的含义，学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 2了解函数的周期性,第3课时 函数的奇偶性与周期性,【命题预测】 1函数的奇偶性虽是了解内容，可作为函数的一条重要性质在高考中几乎每年都要涉及，常以小题出现，有时结合其他知识在解答题中出现 2函数的周期性在高考中一般结合三角函数出现，有时会和抽象函数一起进行考查,【应试对策】 1函数的奇偶性是函数的一条重要性质奇偶性反应的是函数图象的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律对于奇偶性的理解，不能只停留在f(x)f(x)和f(x)f(x)这两个等式
2、上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，即这两个式子是定义域内的恒等式，其实质是函数的定义域关于原点对称稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线xa对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(xa)f(ax)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映,2把握奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数利用定义证明函数的奇偶性时，应先看定义域，再看f(x)与f(x)的关系，最后得出结论 3“周期性”是函数的重要性质之一，
3、判断函数周期性有两种重要的方法：一是从“源头”入手，设法找出此类函数的原型函数，由原型函数利用周期性定义可以作出判断；二是从特例入手，观察出其规律，从而可把其化成周期函数形式,【知识拓展】 1判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域，看是否是关于原点对称的，否则，既不是奇函数也不是偶函数(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断定义判断：f(x)f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(x)为奇函数等价形式判断：f(x)f(x)0f(x)为偶函数，f(x)f(x)0f(x)为奇函数,2奇偶函数的性质(1)若f(x)为奇函数，且在原点有定义，则f(0)0.(2)函数奇偶性满
4、足下列性质：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称(3)若函数f(x)为奇函数，在a，b上为增函数，则f(x)在 b，a上为增函数若函数f(x)为偶函数，在a，b上为增函数，则f(x)在b，a上为减函数 3周期函数的定义域一定是无限集,1偶函数、奇函数的概念设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么 称函数yf(x)是 ；如果对于任意的xA，都有 ，那么称函数yf(x)是奇函数 2函数奇偶性的概念如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们
5、就说函数f(x)具有 ,f(x)f(x),奇偶性,偶函数,3偶函数、奇函数图象的性质偶函数的图象关于 对称，奇函数的图象关于 对称 4具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性的函数，其定义域关于原点 ,y轴,原点,对称,5函数的周期的概念对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都 满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做 ，非零常数T叫做这个函 数的 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的 思考：周期函数的定义域能是有限集吗？提示：周期函数的定义域不能是有限集,周期,周期函数,最小正周期,1(201
6、0南京调研测试)已知yf(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在0，)上单调递增则下列不等式f(2x)f(x1)上的解集为_答案： 2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为_解析：由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，故知函 数yf(x)的周期为4，f(6)f(42)f(2)f(0)f(x)是R上的奇函 数，易知f(0)0，f(6)f(0)0.答案：0,3(2009南通调研测试)已知函数f(x)cos 2xsin 2x，则f(x)的最小正 周期是_解析：f(x)2sin ，所以f(x)的周期为.答案：,4(2010北京五中高三期中)f(x
7、)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)， 则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的_条件解析：“f(x)，g(x)均为偶函数” “h(x)f(x)g(x)为偶函数”例如f(x)x3，g(x)x3，而h(x)f(x)g(x)为偶函数答案：充分而不必要,5定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)x2x1，则f(x)_.解析：当x0时，f(0)f(0)，即f(0)0.当x0时，f(x)f(x)x2x1，f(x) 答案：,1判定函数的奇偶性首先要判定函数的定义域是否关于原点对称，若不对称， 则既不是奇函数又不是偶函数2若函数的定义域关于原点对称，再判断f(x)
8、与f(x)之间的关系，(1)若f(x) f(x)(或f(x)f(x)0)，则f(x)为奇函数；(2)若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则f(x)为偶函数；(3)若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数(其解析式为f(x)0)；(4)若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数,【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ； (2)f(x) .思路点拨：先求函数的定义域，并检验其是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系解：(1)由 0，得定义域为1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)x1时，f(x)x
9、2，x1，f(x)(x)2x2 (x)；x1时，f(x)x2，x1，f(x)x2f(x)1x1时，f(x)0，1x1，f(x)0f(x)对定义域内的每个x都有f(x)f(x)因此f(x)是偶函数,变式1：(原创题)判断下列函数的奇偶性(1)f(x) ； (2)f(x)lg|x2|.解：(1)f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，又f(1)f(1)0， 即f(1)f(1)，且f(1)f(1)，故f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由|x2|0得x2.f(x)的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数,判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤：(1)利用函数奇偶性的定义，找准
10、方向(想办法出现f(x)，f(x)；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出f(x)与f(x)的关系，得出结论 【例2】 (2010改编题)函数f(x)的定义域为R，且对任意x，yR，有f(xy) f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2.(1)证明f(x)是奇函数；(2)证明f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间3,3上的最大值和最小值,思路点拨：充分利用函数关系式，借助奇偶性、单调性的定义进行解题 (1)证明：由对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)，得f(xx)f(x)f(x)， f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0)f(0)，f(0)0，从而有f(
11、x)f(x)0， f(x)f(x)，f(x)是奇函数 (2)证明：任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1) f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)x1x2，x2x10，f(x2x1)0， f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数 (3)解：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在3,3上的最大值是f(3)， 最小值是f(3)由于f(1)2，f(3)f(12)f(1)f(2)f(1)f(11)f(1)f(1)f(1)3f(1)3(2)6，f(3)f(3)6.从而最大值是6，最小值是6.,变式2：定义在R上的函数f(x)
12、满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)， f(1)2，则f(2)等于_解析：令xy0f(0)0；令xy1f(2)2f(1)26；令x2，y2，得0f(22)f(2)f(2)8f(2)8f(2)862.答案：2,【规律方法总结】,1奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：f(x)f(x)2奇函数的图象关于原点对称，并且在两个对称区间上有相同的单调性偶函数的图象关于y轴对称，并且在两个对称区间上的单调性相反,3函数的奇偶性是整个定义域上的性质，因此，讨论奇偶性首先要看其定义域4 解题中要注意以下性质的灵活运用：(1)f(x)为偶
13、函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x0时有定义，则f(0)0.5 函数的周期性是函数的重要性质，判断、证明和应用函数的周期性是对函数考 查的重点和难点，解决此类问题的关键是从周期的定义出发，充分挖掘隐含条 件，合理赋值，巧妙转化.,【高考真题】,【例3】 (2009浙江卷)若函数f(x)x2 (aR)，则下列结论正确的是( ) AaR，f(x)在(0，)上是增函数BaR，f(x)在(0 ，)上是减函数CaR，f(x)是偶函数DaR，f(x)是奇函数,分析：根据条件逐一进行判断，最后选择正确答案 规范解答：对函数f(x)x2 (aR)，当a2时，易得f(x)在(0,1)上是减 函
14、数，在(1，)上是增函数；当a0时，f(x)是偶函数；而aR，f(x) 是奇函数是不可能的所以A，B，D错误，C正确故选C.,【命题探究】 本题主要考查分式函数的奇偶性及单调性，考查利用已有条件推断命题真假的能力本题将函数性质问题与全称命题、存在性命题有机地结合在一起，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇命题，成为本题的一大亮点,【全解密】,【技巧点拨】 判断一个命题是错误的命题，常常使用的方法就是举反例所谓举反例，就是举出一个特殊的命题，使得它满足原命题的条件，但结论却与原命题不同，这样就可以判断原命题是一个错误命题举反例，对这类问题来说是一种非常简捷的方法，要认真把握,【误点警示】 这
15、类判断命题真假的问题，常常由于问题涉及的知识点与面比较广，容易出现误判的错误这就需要考生对所学知识要烂熟于心，所学方法会灵活运用同时在应用举反例的方法时，当举出几个具有代表性的例子而不能推翻原来的命题时，就要考虑命题正确的证明了,【方法探究】 判断函数的奇偶性的方法 首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，此时不必计算f(x)定义域关于原点对称时，若证明函数具有奇偶性，应运用定义，计算f(x)与f(x)比较，有时不易变形时，可直接计算f(x)f(x)，判断其是否为零；若证明函数不具有奇偶性，只需找到一组相反量的函数值，不满足f(a)f(a)，且f(a)f(a)即可.,1已
16、知函数f(x)(m1)x2(m2)xm27m12为偶函数，则m的值是_分析：函数f(x)(m1)x2(m2)xm27m12为偶函数，则其奇次项系数为0，可找到关于m的方程求m.,解析：解法一：f(x)为偶函数，则m20，m2，应填2. 解法二：f(x)为偶函数，则f(x)f(x)对xR恒成立，故有2(m2)x0对 xR恒成立，故m20，m2，应填2. 答案：2,2已知函数yf(x)的定义域为R，对任意a，bR都有f(ab)f(a)f(b)，且当x0时，f(x)x2，则x1x20，又因f(ab)f(a)f(b)，f(x1)f(x1x2x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)，函数yf(x)是R上的减函数(2)由f(ab)f(a)f(b)，得f(xx)f(x)f(x)，即f(x)f(x)f(0)，而f(00)f(0)f(0)，所以f(0)0，f(x)f(x)，即函数yf(x)是奇函数,
