1、最新考纲 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次),第2讲 导数在研究函数中的应用,1函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是_ 2函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的
2、方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_；,知 识 梳 理,单调递增,单调递减,常数函数,极大值,如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤： 求f(x)； 求方程_的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_,f(x)0,极大值,极小值,3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有
3、最大值和最小值(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,f(a)，f(b),1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件 ( )(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 ( )(3)函数的极大值不一定比极小值大 ( )(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件 ( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ),诊 断 自 测,2
4、(2015北京海淀区模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是 ( )A(0，1) B(1，) C(，1) D(1，1),答案 A,3设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )解析 由函数f(x)递增时，f(x)0；函数f(x)递减时，f(x)0.函数f(x)取最值时，f(x)为0，结合图象可判得D.答案 D,4(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是 ( )A(，2 B(，1C2，) D1，),答案 D,5(人教A选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的
5、图象，则f(x)的极小值点的个数为_解析 由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正答案 1,考点一 利用导数研究函数的单调性,(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性,所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减； x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减,规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在
6、指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到,令f(x)0，得ex1或ex2，即x0或xln 2；令f(x)0，则x0或xln 2；令f(x)0，则0xln 2.f(x)的递增区间是(，0)，(ln 2，)；递减区间是(0，ln 2),因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去 当x(0，5)时，f(x)0，故f(x)在(0，5)内为减函数； 当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.,规律方法 (1)可导函数yf(x)在点x0处取得极
7、值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值,【训练2】 (2014重庆卷)已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围解 (1)对f(x)求导，得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)恒成立，即2(ab)(e2xe2x)0，所以ab.又f(
8、0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么,当x0时等号成立 下面分三种情况进行讨论： 当c0，此时f(x)无极值； 当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；,深度思考 对于第(2)问已知函数f(x)在某个闭区间上的最值，求参数值，一般解法你了解吗？(先求f(x)的最值再解方程求参数),规律方法 (1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数,【训练3
9、】 已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间1，e上的最小值(其中e为自然对数的底数)解 (1)f(x)ln x1，x0，,(2)g(x)xln xa(x1)， 则g(x)ln x1a， 由g(x)0，得xea1， 所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数， 在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数 当ea11，即a1时，在区间1，e上，g(x)为递增函数，所以g(x)的最小值为g(1)0. 当1ea1e，即1a2时， g(x)的最小值为g(ea1)aea1.,当ea1e， 即a2时，在区间1，e上
10、，g(x)为递减函数， 所以g(x)的最小值为g(e)aeae. 综上，当a1时，g(x)的最小值为0； 当1a2时， g(x)的最小值为aea1； 当 a2时， g(x)的最小值为aeae.,思想方法 1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分 2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小 3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得,易错防范 1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点 3f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解,
