1、12.4 二项分布与正态分布,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,1.条件概率及其性质,P(B|A)+P(C|A),-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,2.事件的相互独立性 (1)定义:设A,B为两个事件,若P(AB)= ,则称事件A与事件B相互独立. (2)性质:若事件A与B相互独立,则P(B|A)= ,P(A|B)=P(A),P(AB)= . 如果A1,A2,An相互独立,那么P(A1A2An)= .,P(A)P(B),P(B),P(A)P(B),P(A1)P(A2)P(An),-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在
2、相同条件下可重复进行的,各次试验之间相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)= ,此时称随机变量X服从 ,记作 ,并称p为成功概率.,二项分布,XB(n,p),-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,4.正态分布 (1)正态曲线:函数 其中实数和(0)为参数.我们称函数,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 曲线在x轴的上方,与x轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线x=对
3、称;曲线与x轴之间的面积为1; 当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移; 当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足 ,则称随机变量X服从正态分布,记作 . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+)= ; P(-2X+2)= ; P(-3X+3)= .,XN(,2),0.682 7,0.954 5,0.997 3,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.
4、(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( ) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.( ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( ) (5)X服从正态分布,通常用XN(,2)表示,其中参数和2分别表示正态分布的均值和方差.( ),-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,2.袋中有3红5黑共8个大小形状相同的小球,不放回地依次从中摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为( ),-9-,知识梳理,双
5、基自测,2,3,4,1,5,3.(2016河南焦作二模)某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是( ),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 . (附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.3%,P(-2+2)=95.4%.),答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)把一枚硬币连续抛两次
6、,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于( )(2)(2016河南平顶山高三期末)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( )思考求条件概率有哪些基本的方法?,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2016湖南永州三模)袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球,不放回地摸出2个球,设“第一次摸出红球”为事件A,“摸得的2个球同色”为事件B,则概率P(B|A)为( )(2)盒中有红球5个,蓝球11
7、个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球.现从中任取一球,假设每个球被取到的可能性相同.若取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率为 .,答案,解析,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2(2016北京,理16)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):(1)试估计C班的学生人数; (2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;,-16-,考点1,考点2,考点3,
8、考点4,(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明) 思考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有哪些常用的方法?,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后求概率. 2.求相互独立
9、事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列; (2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)设A表示事件“此作物产量为300千克”,B表示事件“此作物市场价格为6元/千克
10、”. 由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 利润=产量市场价格-成本, X所有可能的取值为 50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000, 30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2, 所以X的分布列为,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3), 由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3). 3季的利润均不少于2
11、000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(2016山东菏泽一模)某架飞机将5位空降兵空降到A,B,C三个地点,每位空降兵都要空降到A,B,C中任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是 ,用表示地点C的空降人数,求: (1)地点A空降1人,地点B,C各空降2人的概率; (2)随机变量的分布列与均值. 思考二项分布满足的条件有哪些?,-24-,考点1,考点2,考点
12、3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.独立重复试验满足的两个条件:一是在同样的条件下重复进行;二是各次试验之间相互独立. 2.二项分布满足的条件 (1)在每次试验中,事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶,其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三名
13、同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数X的分布列.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4(1)(2016河南商丘三模)某地市高三理科学生有15 000名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布N(100,2),已知P(80100)=0.35,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析,则应从120分以上的试卷中抽取( ) A.5份 B.10份 C.15份 D.20份 (2)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为
14、( ) A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 附:若XN(,2),则P(-X+)=0.6827,P(-2X+2)=0.954. 思考如何求正态分布在某一区间上的概率?,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案: (1)C (2)C 解析: (1)数学成绩服从正态分布N(100,2),且P(80120)= (1-0.70)=0.15. 应从120分以上的试卷中抽取1000.15=15份,故选C. (2)由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1X1)=0.683,由正态分布密度曲线的对称性知P(0X1)0.341 5,即图中阴影部分的面积为0.341
15、 5.由几何概型知点落入阴影部分的概率为 因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10 0000.341 5=3 415.故选C.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用. (1)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相同. P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a).,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)(2016山东青岛一模)设随机变量服从正态分布N(1,2),则函数f(x)=x2+2x+不存在零点的概率为( )(2)某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(XN)服从正态分布N(100,102),已知P(90X100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 .,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案: (1)C (2)10 解析: (1)函数f(x)=x2+2x+不存在零点, =4-41. 随机变量服从正态分布N(1,2), 曲线关于直线x=1对称,所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250=10.,
