1、7.5 数学归纳法,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n= 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,2.数学归纳法的框图表示,2,-4-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论
2、成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( ) (4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+ ”,验证n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.( ),-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立,答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,
3、1,5,4.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为 时,第一步验证n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是 .,答案,解析,-9-,考点1,考点2,考点3,例1求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*). 思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?,证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立. (2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即(k
4、+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 那么,当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k135(2k-1)(2k+1)2 =2k+1135(2k-1)(2k+1), 即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对所有nN+都成立.,-10-,考点1,考点2,考点3,解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式
5、两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xnxn+13. 思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,解题
6、心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,-17-,考点1,考点2,考点3,证明 (1)当n=1时,a1a2. (2)假设当n=k(kN+)时,ak+1ak,又ak+2+ak+1+1-1+(-1)+1=-1, ak+2-ak+10, ak+2ak+1, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)可知,当nN+时,an+1an.,-18-,考点1,考点2,考点
7、3,例3设数列an的前n项和为Sn,满足Sn= -3n2-4n,nN*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列an的通项公式. 思考解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?,-19-,考点1,考点2,考点3,解 (1)由Sn= -3n2-4n,得 S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20. 又S3=15,a3=7,S2=4a3-20=8. 又S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 综上知a1=3,a2=5,a3=7.,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)由(1)猜想an=2n+1
8、(nN+),以下用数学归纳法证明: 当n=1时,结论显然成立; 假设当n=k(kN+,且k2)时,有ak=2k+1成立, 则Sk=3+5+7+(2k+1)即当n=k+1时,结论成立. 由知,数列an的通项公式为an=2n+1(nN+).,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得解决“归纳猜想证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.,-22-,考点1,考点2,考点3,对点训练3已知数列an的前n项和为Sn,且 ,且an0,nN* (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,
