1、中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到） ，咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。1、 所证式仅与 相关观察法与凑方法 ()0,1(0)1(0)2, ()2()0(1) ()()fxffabxfxffxxff 例 设 在 上 二 阶 可 导 ，试 证 至 少 存 在 一 点 使 得分 析 ： 把 要 证 的 式 子 中 的 换 成 ， 整 理 得由 这 个 式 可 知 要 构 造 的 函 数 中 必 含 有 ， 从 找 突 破 口因 为 1 0()()ffffFxx ， 那 么 把 式 变 一 下 ：这 时 要 构 造 的 函 数 就 看
2、 出 来 了原函数法 dxg dxgexfFCCexfdxgffxf fgfba baxgbfabaxf)( )()( )(ln)()(ln )()( )()(),( ,)()( ,)(2 很 明 显 了， 于 是 要 构 造 的 函 数 就现 在 设 换 成把有 关 的 放 另 一 边 ， 同 样有 关 的 放 一 边 ， 与现 在 把 与 方 法造 的 函 数 ， 于 是 换 一 种是 凑 都 不 容 易 找 出 要 构分 析 ： 这 时 不 论 观 察 还 使 得求 证 ： 上 连 续在， 又内 可 导 ，上 连 续 ， 在在设例 两 边 积 分 00一阶线性齐次方程解法的变形法 0 (
3、) (), ,()0() (,) ()pdx pdxf pueFfefxabcabfcffbafa 对 于 所 证 式 为 型 ， （ 其 中 为 常 数 或 的 函 数 ）可 引 进 函 数 ， 则 可 构 造 新 函 数例 ： 设 在 有 连 续 的 导 数 ， 又 存 在 ， 使 得求 证 ： 存 在 ， 使 得分 析 ： 把 所 证 式 整 理 一 下 可 得 ：1()00 C=()()() x xdbaba baf fpuxe Fefffcfb ， 这 样 就 变 成 了 型引 进 函 数 （ 令 ） ， 于 是 就 可 以 设注 ： 此 题 在 证 明 时 会 用 到 这 个 结
4、论2、所证式中出现两端点凑拉格朗日abffffFx ffabffabaxf )()()()( , )()()(),( ,)(3 下用 拉 格 朗 日 定 理 验 证 一 可 以 试 一 下 ， 不 妨 设证 的 式 子 的 特 点 ， 那 么分 析 ： 很 容 易 就 找 到 要 使 得证 明 至 少 存 在 一 点 内 可 导上 连 续 ， 在在设例柯西定理 数 就 很 容 易 证 明 了用 柯 西 定 理 设 好 两 个 函 没 有 悬 念 了于 是 这 个 式 子 一 下 变 得 分 子 分 母 同 除 一 下是 交 叉 的 ， 变 换 一 下 ，发 现 容 易 看 出 来 了这 题 就
5、 没 上 面 那 道 那 么的 式 子分 析 ： 先 整 理 一 下 要 证 ， 使 得至 少 存 在 一 点可 导 ， 证 明 在在，设例 )()( )( )()()()()( ),(,)(412 2121 2121210 1211x xxx xxxxeff efe cfeffcffeecxf k 值法 。， 用 罗 尔 定 理 证 明 即 可记 得 回 带 ， 验 证 可 知那 么 进 入 第 二 步 ， 设 还 是 一 样 的称 式 ， 也 是 说 互 换很 容 易 看 出 这 是 一 个 对 整 理 得设 量 的 这 个 式 子的 形 式 了 ， 现 在 就 看 常以 此 题 为 例
6、已 经 是 规 范 两 边常 量 的 式 子 分 写 在 等 号第 一 步 是 要 把 含 变 量 与 值 法方 法 叫 做在 老 陈 的 书 里 讲 了 一 个 呢 ？很 好 上 面 那 题 该 怎 么 办对 柯 西 定 理 掌 握 的 不 是分 析 ： 对 于 数 四 ， 如 果仍 是 上 题 k xFkxfexF kxfexfkexfxf k )()()()( )()( )()( 21212121 泰勒公式法老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。3、所证试同时出现 和 两次中值定理)()( )(
7、)()()( )()( )()(),( ) ),)(5 feabeGxGeabef ffFxfeFefeffebfababaxf abab得 到则 再 用 拉 格 朗 日 定 理 就令这 个 更 容 易 看 出 来 了 ， 的 关 系 就 行 了与只 要 找 到 再 整 理 一 下利 用 拉 格 朗 日 定 理 可 得 ， 设很 容 易 看 出 子 下 手 试 一 下那 么 可 以 先 从 左 边 的 式一 下 子 看 不 出 来 什 么 ，分 开 ， 那 么 就 有与分 析 ： 首 先 把 使 得，试 证 存 在 内 可 导 ，上 连 续 ， 在在例 110柯西定理（与之前所举例类似）有时遇
8、到 和 同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数 f(x)二阶和二阶以上可导， “不管三七二十一” ，把 f(x)在指定点展成泰勒公式再说。2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。3、在题设条件中函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b) 内可导，且 f(a)=0 或 f(b)=0 或 f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合
9、函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式 f(u)再说。二、线性代数解题的八种思维定势1、题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。2、若涉及到 A、B 是否可交换，即 AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3、若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。 4、若要证明一组向量 a1,a2,as 线性无关，先考虑用定义再说。5、若已知 AB=0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7、若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A 0= 0 0 处理一下再说。8、若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
