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类型第三节 正交变换法化二次型为标准型..ppt

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:4998778
  • 上传时间:2019-01-28
  • 格式:PPT
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    第三节 正交变换法化二次型为标准型.ppt
    资源描述:

    1、第三节 正交变换法化二次型为标准形,正交变换:标准正交基到标准正交基的坐标变换(可逆的线性变换)X=CY,其中C是正交矩阵.,用正交变换X=CY化二次型,为标准形的,问题,等价于求正交矩阵C,使得:,此式表明,当C为正交矩阵时,由上式所得的对角矩阵既与A合同,又与A相似,且对角线元素全是A的全部特征值。,由第五章矩阵可以相似对角化的条件,只要说明矩阵A的特征值都是实数,且一定有n个特征向量组成的标准正交组,则问题就可以得到完全解决.,定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.,定理1的意义,证明:,于是有,两式相减,得,由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有n个线性无关的实特征向量,从而它必相

    2、似于对角矩阵.,现须说明,一定存有A的n个特征向量组成的标准正交组,为简化计算,先看下面的定理:,于是,由定理3,结合矩阵相似对角化的理论, 可得以下定理4:,对角线元素是矩阵A的全部特征值.,二次项系数是矩阵A的全部特征值.,利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵,其具体步骤为:,注: (1)求出特征值后,正交对角化后的矩阵已经确定;,(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交化即可.,(3)每一特征值的特征向量正交化后,单位化,构成正交矩阵,特征向量与特征值要位置一致.,(4)正交矩阵不唯一,依赖于基础解系参数的选择.,注:此种类型需要先写出二

    3、次型矩阵.,补充知识,(1) 矩阵等价.,设A,B为同型矩阵,若A经过有限次初等变换可以化为B,则称A与B等价.,判别方法:A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).,(2) 矩阵相似. 方阵,逆,判别方法:A与B均为n阶矩阵,若A与B的特征值相同且都可以相似对角化,则A相似与B.,特别的:A与B均为n阶对称矩阵,由于对称矩阵都可对角化,故只要A与B相同,则A相似与B.,(3) 矩阵合同.,实对称矩阵,转置,判别方法:A与B均为n阶实对称矩阵,则A与B合同的充要条件是:矩阵A与B的正负特征值个数相同.,A相似但不合同 B合同但不相似 C相似且合同 D不合同也不相似,B,A:-2,1,2,B:1,1,-1,A相似但不合同 B合同但不相似 C相似且合同 D不合同也不相似,C,1. 对称矩阵的性质:,三、小结,(1)特征值为实数;(2)属于不同特征值的特征向量正交;(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等;(4)必存在正交矩阵,将其化为对角矩阵, 且对角矩阵对角元素即为特征值,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤:,(1)求特征值;(2)找特征向量;(3)将特征向 量单位化;(4)最后正交化,思考题,A的特征值:r个1,n-r个0,作业:,

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