1、第五章 目标规划,一、目标规划概述,LP与 GP比较：,（1）线性规划只能处理一个目标，而目标规划能统 筹兼 顾处理多种目标的关系，求得更切实际要求的解。,（2）线性规划立足于满足所有约束条件的可行解，而在实际问题中可能存在相互矛盾的约束条件；目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解，即满意方案。,（3）线性规划的约束条件是不分主次地同等对待的， 而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。,电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。,该厂的目标是：
2、 1、充分利用装配线，避免开工不足。 2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、装配电视机的数量尽量满足市场需求。,例,车间,产品,LP： maxz=100x1 + 80x2,x* =(50,100) z* =13000,例,目标约束： 100x1+80x2 d +d - =10000d +.d - =0 d+, d - 0,引入： 正偏差变量 d +：决策值超过目标值部分 负偏差变量 d -：决策值不足目标值部分,GP：该厂去年总收益9000，上级对该厂下达的指标是：今年希望总收益不低于10000,目标函数： mind -,单一目标要求：,数学模型,例2,某工厂生产甲，乙两种产品，已知
3、有关数据见下表。试求获利最大的生产方案。,最优决策方案为：,(1)原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制。,(2)根据市场信息，产品甲销售量有下降趋势，故产品甲的产量尽量不大于产品乙的产量。,(3)充分利用设备，不希望加班。,(4)尽可能达到并超过利润计划指标56元。,多目标要求：,d1- : x1不足x2 部分 d1+ : x1超过x2 部分 d2- : 设备使用不足10 部分 d2+ :设备使用超过10 部分 d3- : 利润不足56 部分 d3+ :利润超过56 部分,设x1 ，x2为产品甲，产品乙的产量。,minz=P1d1+P2(d2-+d2+)+P3(d3-),数学模型,
4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。,该厂的目标是： 1、充分利用装配线，避免开工不足。 2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、装配电视机的数量尽量满足市场需求。,例3,解：设x1 , x2 分别表示25寸，21寸彩电产量,di+,di-分别为正、负偏差变量，则：,数学模型,负偏差变量d-:表示决策值不足目标值部分。 d - 0,变量约束：xj 0 j=1,2,n d + 0 , d - 0,小结： 目标规划数学模型中的基本要素：,1、变
5、量：,决策变量x1, x2, xn:表示决策问题的计划产品产量或计划生产时间。,正偏差变量d+:表示决策值超过目标值部分。 d + 0,2、约束条件：,绝对约束(硬约束)：必须严格满足的等式约束或不等式约束。,目标约束(软约束)：含有d -, d +的约束。通常用等式来描述。,(3) 要求不超过目标：,目标优先级（优先因子）：P1 P2 PL同一级中可以有若干个目标：P21 , P22 ,P23 其重要程度用权重系数w21 ,w22 ,w23 表示,3、目标函数：,(1) 要求恰好达到目标：,minz= d -+d+,(2) 要求超过目标：,minz= d -,minz= d+,二、目标规划的
6、数学模型 一般形式：,结论： 目标规划：求一组决策变量的满意值，使决策结果与给定目标总偏差最小。, Z=0：各级目标均已达到Z0：部分目标未达到。, 目标函数中只有偏差变量、优先因子、权系数。, 目标函数总是求偏差变量最小。,练习1,某工厂生产A、B两种型号的机床，每种型号的机床均需经过I、两道工序，每台机床所需的加工时间、销售利润及工厂每周最大加工能力如下表所示。,如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： P1：经理希望每周总利润恰好为5000元； P2：因合同要求，A型机每周至少生产20台，B型机每周至少生产30台（以利润作为权系数）； P3：工序的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 试建
7、立这个问题的目标规划模型。,答案1,解：设x1，x2分别为生产A、B两种机床的台数，di+,di-分别为正、负偏差变量，对于第二优先级目标，根据A,B机床的利润200：500=2：5的比值，取二者权系数分别为2和5。该问题的目标规划模型为： minfP1（d1+ d1+）+ P2（2d2+ 5d3）+ P3d4200X1+ 500X2+ d1- d1+=5000X1 + d2- d2+=20X2 + d3- d3+=303X1+ 2X2+ d4- d4+=100X1，X2，di,di+0 i=1,2,3,4,练习2,已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆固醇含量等有关数据如表所示，如果只考虑这
8、三种食物，并且设定以下三个目标： P1：满足三种维生素的每日最小需要量； P2：使得每日摄入的胆固醇最少； P3：使得每日购买食品的费用最少；,试建立该问题的目标规划数学模型。,答案2,设x1,x2 ,x3分别表示牛奶，牛肉，鸡蛋的购买量，di+,di-分别为正、负偏差变量则,， i=1,2,3,4,5,练习3,某作坊有6名熟练工，3名见习工，单件产品的利润为2.5元/ 件，具体工况如下表所示：,经理的目标是： 下月产量达4000件； 限制熟练工的加班时间不超过50小时； 在优先考虑熟练工的前提下，保持全体职工能充分就业；（以产量作为权系数） 尽量减少见习工的加班时间。 要求：建立该问题的目标
9、规划模型 。,答案3,解：设全体熟练工下个月工作时间为 小时，全体见习工下个月工作时间为 小时， di+,di-分别为正、负偏差变量，则目标规划模型为：,Step2. 根据目标函数中的优先因子来分析求解：1.先考虑P1优先因子的目标的实现; 2.再考虑P2优先因子的目标的实现;3.最后考虑P3优先因子的目标的实现;,三、目标规划的图解法,具有两个决策变量的目标规划，可以用图解法来分析求解。,图解法的主要步骤：,Step1在平面直角坐标系内，作各约束条件：,1.先画出绝对约束条件（画法同线性规划图解法）；,2.再画出目标约束条件：,先令 di- = di+ =0，作相应直线；,在直线旁标上di-
10、 、 di+ ，表明目标约束可沿di- 、 di+所示方向平移（平移方向是使di- 或 di+ 增加的方向）。,x2,x1,O,50,100,50,100,125,2x1+4x2 = 500,100x1+80x2 = 10000,4x1+2x2 = 400,C,B,A,d+,d-,绝对约束可行域为OABC,目标约束满意域为ABC,该问题有无穷多个有效解： 其中：A点(100,0), 10000; (70,50), 11000; B点(50,100), 13000, minz =0,例1,例2,d3+,A,B,C,d2+,d1-,x1+2x2 = 10,x1 -x2=0,8x1+10x2=56,
11、2x1+x2 =11,O,d1+,d2-,d3-,解：, 可行域OAB, 可行域OAB, 目标1： OBC, 可行域OAB, 目标1： OBC,D,E,目标2：ED线段,G,目标3：GD线段, 有效解为GD线段： G=(2,4) 利润=56 D=(10/3,10/3)利润=60, minz =0,例3,解：,1.满足目标、的满意域为ABCD,2.先考虑的满意域为ABEF,解：,1.满足目标、的满意域为ABCD,2.先考虑的满意域为ABEF,再考虑，无公共满意域。,3.在满足目标、 、 的基础上，使得d4- 最小的是E点(24,26) 获利2960。,4.minZ =d4- = 4,课堂练习,用
12、图解法求解下列目标规划问题:,1.,2.,10,10,x2,x1,D,C,B,A,d3-,d1+,d2-,4x1+2x2 =120,6x1+4x2 =240,2x1+3x2 =120,O,E,课堂练习答案,1解.,d2+,d3+,d1-,C点(24，24) d3+=24,有效解为：,minZ =d3+ =24,x1,x2,0,50,x1-10x2=50,d1-,d1+,3x1+5x2=20,d2+,d2-,d3+,d3-,8x1+6x2=100,A,有效解为：,A点(50，0) d2+=130 d3+=300,minz=2d2+ d3+ =560,作业：用图解法找出目标规划的满意解,四、目标规
13、划的单纯形法,2.因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即因 ；从每个检验数的整体来看：检验数的正、负首先决定于 的系数 的正、负。若 ，这时，检验数的正、负就决定于 的系数 的正、负。下面可依此类推。,考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：,1.因目标规划问题的目标函数都是求极小值，所以以为最优准则。,单纯形法举例,回忆：表上作业法,销地,产地,10,8,8,2,6,14,销量,行位势,列位势,0,4,11,-1,3,-5,10,1,2,-3,-1,10,12,求解：,xj,XB,xj,XB,xj,XB,xj,XB,五、应用举例 例1,某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，
14、依次遵循以下规定：1）不超过月工资总额60000元。2）每级的人数不超过定编规定的人数。3），级的升级面尽可能达到现有人数的20%。4）级不足编制的人数可录用新职工，又级的职工中有10%要退休。有关资料汇总于下表中，问单位领导应如何拟定一个满意方案。,解：设x1，x2， x3分别表示提升到、级和录用到级的新职工人数。,某公司拟用一笔资金投资于四种资产（如股票、债券、）。公司财务人员对这四种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Sj的收益率为rj，并预测出购买Sj的风险损失率为qj。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司决定，当用这笔资金购买若干资产时，总体风险可用所投资的Sj中最大的一个风险来度量。购买Sj要付交易费，费率为pj（相关数据见下表）。另外，假定同期银行存款利率为5%，且既无交易费，又无风险。公司对投资提出以下要求：1）总投资额尽量不超过1000000元（P1）。2）总收益不少于总投资的15%（ P2 ）。3）投资的总体风险尽可能小（ P3）。4）对资产的投资不少于总投资的10%（ P4 ）。,例2,解：,设xj为投资于资产Sj的投资额(j=1,2,3,4)，x5为存入银行的金额。,
