1、高等数学应用案例案例 1、如何调整工人的人数而保证产量不变一工厂有 名技术工人和 名非技术工人，每天可生产的产品产xy量为（件）yxf2),(现有 16 名技术工人和 32 名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？解：现在产品产量为 件，保持这种产量的函数曲线(16,32)89f为 。对于任一给定值 ，每增加一名技术工人时 的变8192),(yxf xy化量即为这函数曲线切线的斜率 。而由隐函数存在定理，可得dyyfx所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为 xyfdxy2当 时，可得 。16,32xy4因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约 4
2、名非技术工人。下面给出一个初等数学解法。令c：每天可生产的产品产量；技术工人数；0x；非技术工人数；y；技术工人增加人数；x；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由 16 名y增加到 17 名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。由已知列方程：（1）当技术工人为 16 名，非技术工人为 32 名时，每天的产品产量为 c，则有方程：（1 ）cyx02（2）当技术工人增加了 1 名时，非技术工人应为（ ）名，y0且每天的产品产量为 c，则有方程：（2 ）cyx)()(020联立方程组（1） 、 （2） ，消去 c 得： )(0200 yxyx）（即 0202)/(xy 20)(12001xy代
3、入 ，得： 名，即减少 4 名非技术工人。yx,0 46.3y比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式： 1102020 )(31nnxxx从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小：（3 ）0)x( )1(310420 nnxx而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3） ，所以计算较容易。案例 2、征税的学问工厂想赚钱，政府要收税，一个怎样的税率才能使双方都受益？这是一个具有现实意义的问题。假设工厂以追求最大利润为目标而控制它的产量 q，政府对其产品征税的税率(单位产品的税收金额)为t，我们的任务是，确定一个
4、适当的税率，使征税收益达到最大。现已知工厂的总收益函数和总成本函数分别为 R=R(q)、C=C(q) 。由于每单位产品要纳税 t，故平均成本要增加 t，从而纳税后的总成本函数是 tqCt)(利润函数是 tRqLtt )()(令 ，有0dqLt（1 ）tdqCR这就是在纳税的情况下获得最大利润的必要条件。政府征税得到的总收益是（2 ）tqT显然，总收益 T 不仅与产量 q 有关，而且与税率 f 有关。当税率t=0(免税) 时，T=0；随着单位产品税率的增加，产品的价格也会提高，需求量就会降低，当税率 f 增大到使产品失去市场时，有q=0，从而也有 T=0。因此，为了使征税收益最大，就必须恰当地选
5、取 t。我们利用一元函数极值的有关知识来解决本问题，下面看一个实例。例 1： 厂商的总收益函数和总成本函数分别为。2,302qCqR厂商追求最大利润，政府对产品征税，求1)征税收益的最大值及此时的税率 t；2)厂商纳税前后的最大利润及价格解： 1)由纳税后获得最大利润的必要条件(1)，得 tq2630故 )8(1t根据实际问题的判断， 就是纳税后厂商获得最大利润的产出t水平。于是，这时的征税收益函数 )28(1ttqT要使税收 T 取最大值，令 ，得0dt，即 t=14)(8根据实际问题可以断定必有最大值，现在 只有一个根，0dtT所以当 t=14 时，T 的值最大。这时的产出水平 ，75.1
6、)428(tq最大征税收益为 5.47.1tqT2)容易算得纳税前，当产出水平 q=3.5 时，可获得最大利润L=47，此时价格 p=19.5；将 qt=1.75， t=14 代入纳税后的利润函数2)8(4)(2CqRLtt得最大利润 L=10.25，此时产品价格=24.7575.175.1)30()(qqRp可见，因产品纳税，产出水平由 3.5 下降到 1.75；价格由 19.5 上升到 24.75，最大利润由 47 下降到 10.25。案例 3、隧道的车流量问题巴巴拉(Barbara)接受了纽约市隧道管理局的一份工作，她的第一项任务就是决定每辆汽车以多大速度通过隧道可使车流量最大。通过大量
7、的观察，她找到了一个很好的描述平均车速(km/h)与车流量(辆秒 )关系的函数： 1.326.15)(vf(a)问平均车速多大时，车流量最大？(b)最大流量是多少？解：(a)这是一个极值的问题： 22)1.36.()16.(5135vvdf 令 ，即0vf )/(.842 hkm得由实际问题知，当 v=26.15kmh 时，车流量最大。(b)最大车流量是 f (26.15)=8.8(辆秒)案例 4、 、核废料的处理问题以前，美国原子能委员会将放射性核废料装在密封的圆桶里扔到水深约 91 米的海里。生态学家和科学家耽心这种做法不安全而提出疑问。原子能委员会向他们保证，圆桶决不会破漏。经过周密的试
8、验，证明圆桶的密封性是很好的。但工程师们又问：圆桶是否会因与海底碰撞而发生破裂？原子能委员会说：决不会。但工程师们不放心。他们进行了大量的实验后发现：当圆桶的速度超过每秒 12.2米时，圆桶会因碰撞而破裂。那末圆桶到达海底时的速度到底是多少呢？它会因碰撞而破裂吗？下面是具体而真实的数据，你能根据它们解决这个问题吗？圆桶的重量 W=239.456 kg海水浮力为 1025.94kgm 3圆桶的体积 V=0.208m3圆桶下沉时的阻力：工程师们做了大量牵引试验后得出结论：这个阻力与圆桶的方位大致无关，而与下沉的速度成正比，比例系数 k=0.12。解：建立坐标系，设海平面为 x 轴，y 轴的方向向下
9、为正。由牛顿第二定律 F=ma，其中 m 为圆桶质量， ，F 为作用在圆桶2dtya上的力：它由圆桶的重量 W，海水作用在圆桶上的浮力B=1025.94V=213.396(kg)及圆桶下沉时的阻力D=kv=0.12v=0.12 。 (其中 v 为下沉速度) 合成。即 F=w-B-D=W-dtyB-kv，这样就得到一个二阶微分方程(1)0)(02vdtydtymtkBW此微分方程是 型的。解此方程：f由于 ，则 代人（1 ）得到一个一阶可分离变量的方程dtyvdtv20)(vdtvmkBW解得， )1(tmket至此，数学问题似乎有了结果，得到了速度与时间的表达式，但实际问题远没有解决。因为圆桶
10、到达海底所需的时间 t 并不知道，因而也就无法算出速度。这样，上述的表达式就没有实际意义。有人会说，虽然无法算出精确值但我们可以估计当 时，t。因而圆桶到达海底的速度不会超过 。这个说法是kBWtv)( kBW对的，但可惜 ，它太大了，毫无用处。这样，方程(1)就sm/2.17需要用其它方法来解。 型方程的另一种解法是：令)(yf，方程(1)也化为一个一阶可分离变量的方程dyvtvdty2,（2 ）0)(yvkvBWm解之， dmvkBW1得 CkvBWkvym)ln(12由初始条件得 )l(2kC所以 求当 y=91(米 )时，v=？似乎这个 v 值也无法求得，但我们用近似方法例如牛顿法迭代
11、可求出 v 的近似值。牛顿法介绍：若已知方程 g(v)=0，求 v 用迭代法：,210,)(1ngvn在这里，(3)式可写成 0ln12BWkvkvym取 Bkvgl)( Bkvkvyaln其中 a=9.8m/s2，记 。 ，于是47.0Wkd167.2bvvg1ln)(vb1)(迭代格式为： )(1nnvgv（4 ）bvdvbvbvdbvnn nnnn nnn1ll1l选择一个好的初始值 ，就能很快算出结果。求 的粗略近似值：0 0v从(2)中令 k=0(即下沉时不计阻力)得 由初始条件得CyBWmv)(21C=0。 symBWv/93.122以 =13.93 代入（4）得0113.6057
12、.vv把 代 入 (4)有 228把 代 入这就够了，不用再迭代了。.3v，因此这种处理核废料的方法是不安全的。sms/1/64.案例 5、大气污染指数的影响因素一个城市的大气污染指数 P 取决于两个因素，空气中固体废物的数量 x 和空气中有害气体的数量 y，在某种情况下 。224xhyxP试说明 的意义，并计算 当 x 增长 10或),(),(babayP )5,10()5,10(yxy 增长 10时，用偏导数估算 P 的改变量。解： 的意义：如果空气中有害气体的数量 y 为一常数 b，),(bax空气中固体废物的数量 x 是变化的，那么当 x=a 有一个单位的改变时，大气污染指数 P 大约
13、改变 个单位),(ba同样地，可以说明 的意义),(bayxyPyxP82,421300)5,1( 42)5,10(yP设空气中有害气体的量 y=5，且固定不变，当空气中固体废物的量 x=10 时，P 对 x 的变化率等于 130当 x 增长 10，即 x 从 10到 11，P 将增长大约 1301=130 个单位(事实上， P(10，5)=1200，P(11，5)=1331，P 增长了 131 个单位 )。同样地，设空气中固体废物的量 x=10 且固定不变，当空气中有害气体的量 y=5 时，P 对 Y 的变化率等于 420当 Y 增长 10，即Y 从 5 到 55，增长 05 个单位时，P
14、大约增长 4200.5=210 个单位(事实上，P(10 ，5)=1200，P(10，5.5)=1420，P 增长了 220 个单位)。因此，大气污染指数对有害气体增长 10比对固体废物增长10更为敏感。案例 6、为什么不宜制造太大的核弹头核弹在与它的爆炸量(系指核裂变或聚变时释放出的能量，通常用相当于多少千吨 TNT 炸药的爆炸威力来度量) 的立方根成正比的距离内会产生每平方厘米 0.3516 千克的超压，这种距离算作有效距离。若记有效距离为 D，爆炸量为 x，则二者的函数关系为31C其中 C 是比例常数。又知当 x 是 100 千吨(TNT 当量)时，有效距离 D 为 32186 千米于是
15、 3.2186= 310C即 694.128.3所以这样，当爆炸量增至 10 倍(变成 1 00()千吨=百万吨) 时，有效距离增至 ）（）（ km934.6106934.差不多仅为 100 千吨时的 2 倍，说明其作用范围( )并没因爆2D炸量的大幅度增加而显著增加。下面再来研究爆炸量与相对效率的关系(这里相对效率的含义是，核弹的爆炸量每增加 1 千吨 TNT 当量时有效距离的增量 )。由 32321.0694.0xxdxD知 32.若 ，则1,0x)(7.10)(.0)1(23.032mkD这就是说，对 100 千吨(10 万吨级)爆炸量的核弹来说，爆炸量每增加 1 千吨，有效距离差不多增加 10.7 米；若 ，则,0x)(3.2)(0.)1(23.32mkD即对百万吨级的核弹来说，每增加 l 千吨的爆炸量，有效距离差不多仅增加 2.3 米，相对效率是下降的。可见，除了制造、运载、投放等技术因素外，无论从作用范围还是从相对效率来说，都不宜制造当量级太大的核弹头。事实上，1945 年二战中美国投放在日本广岛、长崎的原子弹，其爆炸量为 20千吨，有效距离为 1.87 千米。
