1、1第三讲 平方根与立方根的认识课程目标1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根3. 了解立方根的含义； 4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.课程重点 会用根号表示数的平方根，并会用开方运算求某些非负数的平方根课程难点 开方运算求某些非负数的平方根教学方法建议 熟悉掌握概念，熟练各种题型变换一、知识梳理：要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数 x的平方等于 a，即 2x,那么这个正数 x 叫做 a的算术平方根（规定 0 的算术平方根还是 0）； 的算术
2、平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数. 要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 0， 0.2.平方根的定义如果 2xa，那么 x叫做 a的平方根.求一个数 a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. ( 0)的平方根的符号表达为 (0)，其中 a是 的算术平方根. 3.立方根的定义（1）如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根或三次方根.这就是说，如果3xa，那么 x叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数 的立方根，用 3表示，其中 是被开方数，3 是根指数. 开立方和立方互为逆运算.（2）立方根的特征：正数的
3、立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.要 点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点二：平方根和算术平方根的区别与联系21区别：（1）定义不同；（2）结果不同： a和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点
4、三：平方根及立方根的性质平方根的性质： 2(0)|a20a立方根的性质： 33a 3a 3要点诠释：立方根第一个公式可以将求负 数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如： 6250， 65， 6.52.，0.625.平方根及立方根小数点位数移动规 律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如，30. 216.0， 3. 260 ， 3 26 ， 310 6 .二、课堂
5、精讲：【典型例题】类型一：平方根、算术平方根及立方根的概念例 1：（1）已知 2a1 的平方根是3，3a+b9 的立方根是 2，c 是 的整数部分，求 a+b+c 的平方根（2） 、 下列结论正确的是（ ）3A64 的立方根是4 B 12是 6的立方根C立方根等于本身的数 只有 0 和 1 D 337【随堂演练 1】【变式 1】已知 2a1 与 2 是 m的两个不同的平方根，求 m的 值.【变式 2】下列说法正确的是（ ）A一个数的立方根有两个 B一个非零数与它的立方根同号C若一个数有立方根，则它就有平方根 D一个 数的立方根是非负数【变式 3】下列说法正确的是（ ）A4 的立方是 64 B
6、0.1 的立方根是 0.001C 4 的算术平方根是 16 D 9 的平方根是3例 2： x为何值时，下列各式有意义？(1) 2； (2) 4x； (3) 1x； (4) 13x【随堂演练 2】【变式 1】已知 43232baa，求 1b的算术平方根类型二、平方根及立方根的运算4例 3：求下列各式的值（1）22543A； (2) 1120.369045 （3） 32710 （4） 32 （5）38（6） 3327() （7） 103)(4)(【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【随堂演练 3】【变式 1】计算：（1） 30.8_；（2） 3641_；（3）
7、1279_ （4） 335)(_.类型三、利用平方根或立方根解方程例 4：求下列各式中的 x.（1） 2360; （2） 2189x； （3） 294x （4） （x2） 3=125【随堂演练 4】5【变式 1】求出下列各式中的 a：（1）若 3a0.343，则 _；（2）若 3a3213，则 a_；（3）若 1250，则 _；（4）若 18，则 _【变式 2】求下列等式中的 x：（1）若 2.1x，则 _； （2） 269x，则 x_；（3）若 9,4则 _； （4）若 2，则 _类型四、平方根与立方根的综合应用例 5：已知 a、 b是实数，且 26|2|0ab，解关于 x的方程 2()1a
8、xba【随堂演练 5】【变式 1】若 210xy，求 2012xy的值例 6：（1）小丽想用一块面积为 400 2cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 2cm 的长方形纸片，使它长宽之比为 :3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.（2）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为 64 3c，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了 169cm请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【随堂演练 6】6【变式 1】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为 1000m2的
9、正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为 420m2，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必须留出 1m 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【变式 2】将棱长分别为 和 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_ .(不计损耗)三、课后作业：【平方根 巩固练习 A 组】一.选择题1下列说法中正确的有（ ） 只有正数才有平方根 2是 4 的平方根 16的平方根是 4 2a的算术平方根是 a (6)的平方根是 93A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2若 m 404，则估计 m的值所在的范围是（ ）A1 2 B. 2 3 C. 3 m4 D. 4
10、 m5 3. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4 是 8 的算术平方根 B.16 的平方根是 4 C. 6是 6 的平方根 D. a没有平方根 4. 能使 x3 的平方根有意义的 x值是（ ）A. 0 B. 3 C. 0 D. x35.若 =a，则 a 的值为（ ）A1 B1 C0 或 1 D16. 若 x， y为实数，且| x1| y0，则2013xy的值是（ ）A.0 B.1 C.1 D.2011二.填空题77. 若 1042，则 1.04_.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是 3cm和 5 的正方形的面积的和，则这个正方形的边 长为 _.9. 下列各数：81， 1625，1.4
11、4， 14， 8的平方根分别是_；算术平方根分别是_.10 （1） 2的平方根是_；（2） 5的平方根是_，算术平方根是_；（3） x的平方根是_，算术平方根是_；（4） 2的平方根是_，算术平方根是_11已知 ，求 ab= 12. 若 ，则 _.三.解答题13 x为何值时，下列各式有意义？(1)2;（2） ;x （3） 2;x （4） 1.x14.已知：|x1|+（y2） 2+ =0，求 x+y+z 值的平方 根15.如图，实数 a， b对应数轴上的点 A 和 B，化简 222()()abab【立方根巩固练习 B 组】8一.选择题1下列结论正确的是（ ）A 2764的立方根是 34B 125
12、没有立方根C有理数一定有立方根 D 6的立方根是12如果 b是 a的立方根，则下列结论正确的是（ ）A 3 B b 3aC b 3aD 3b a3.下列说法中正确的有（ ）个. 负数没有平方根，但负数有立方根 49的平方根是 28,7的立方根是 2如果 32x，那么 x2 算术平方根等于立方根的数只有 1A1 B2 C3 D44. 是 9的平方根， y是 64 的立方根，则 xy（ ）A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，75. 的立方根是（ ）A1 B 0 C 1 D 16. 有如下命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是 1 或 0，其中错误的是（ ）A. B. C. D.二.填空题7 331x中的 x的取值范围是_， 1x中的 x的取值范围是_88 的立方根与 81的平方根的和是_9若 30,xy 则 x与 y的关系是_10计算 = 11. 如果 34,a那么 367a的值是_12.若 ，则 _.三.解答题13.若 321a和 3b互为相反数，求 ab的值.14已知 5x19 的立方根是 4，求 2x7 的平方根15.已知 M= 是 m+3 的算术平方根，N= 是 n2 的立方根，试求 MN 的值9
