1、1第三章 不等式滚动训练(五)一、填空题1在 ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，若 A C2 B， a1， b ，则3S ABC_.考点 解三角形求面积题点 先用余弦定理求边或角再求面积答案 32解析 由 A C2 B，解得 B . 3由余弦定理，得( )21 c22 ccos ，3 3解得 c2 或 c1(舍去)于是 S ABC acsinB 12sin .12 12 3 322下列不等式中正确的是_若 aR，则 a296 a；若 a， bR，则 2；a bab若 a0， b0，则 2lg lg alg b；a b2若 xR，则 x2 1.1x2 1考点 基本
2、不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 解析 a0， b0， .a b2 ab2lg 2lg lg( ab)lg alg b.a b2 ab3在 ABC 中，若 3， b2 a2 ac，则 cosB_.sinCsinA 52考点 用正弦、余弦定理解三角形2题点 用正弦、余弦定理解三角形答案 14解析 由题意及正弦定理知， c3 a， b2 a2 ac c22 accos B，所以 cosB 52 c2 52ac2ac .9a2 152a26a2 144已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S1122，则 a3 a7 a8_.考点 等差数列前 n 项和题点 等差数列前 n 项和有关的基本
3、量计算问题答案 6解析 设等差数列 an的公差为 d，由题意得 S11 22，即11a1 a112 112a1 10d2a15 d2，所以 a3 a7 a8 a12 d a16 d a17 d3( a15 d)6.5若关于 x 的不等式 x22 ax8 a20)的解集为( x1， x2)，且 x2 x115，则a_.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 52解析 由条件知 x1， x2为方程 x22 ax8 a20( a0)的两根，则 x1 x22 a， x1x28 a2，故( x2 x1)2( x1 x2)24 x1x2(2 a)24(8 a2)36
4、a215 2，解得 a .526已知 x， y(0，)，且 log2xlog 2y2，则 的最小值是_1x 1y考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 1解析 x， y(0，)， ，当且仅当 x y 时取等号1x 1y x yxy 2xyxy 2xylog 2xlog 2ylog 2(xy)2， xy4. 1.1x 1y 2xy7已知 a0， b0， ，若不等式 2a b9 m 恒成立，则 m 的最大值为_2a 1b 163考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 6解析 2 a b6 (2a b)(2a 1b)6 6(54)54(当且仅当 a b 时，取等号)(52
5、ab 2ba)9 m54，即 m6.8若直线 1( a0， b0)过点(1,1)，则 a b 的最小值为_xa yb考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 因为直线 1( a0， b0)过点(1,1)，所以 1，所以xa yb 1a 1ba b( a b) 2 22 4，当且仅当 a b2 时取“” (1a 1b) ab ba abba9已知数列 an的通项公式 anError!则 a3a4_.考点 数列的通项公式题点 已知通项公式求项或项数答案 54解析 由题意知， a32351， a423 41 54， a3a454.10已知数列 an的前 n 项和 Sn an (n
6、N *)，则 an的通项公式 an_.13 23考点 an与 Sn关系题点 由 Sn与 an递推式求通项答案 n1(12)解析 当 n1 时， a1 S1 a1 ， a11.13 23当 n2 时， an Sn Sn1 an an1 ，13 13 .anan 1 12数列 an是首项 a11，公比 q 的等比数列，124故 an n1 (nN *)(12)二、解答题11已知函数 f(x) x22 ax1 a， aR.(1)若 a2，试求函数 y (x0)的最小值；fxx(2)对于任意的 x0,2，不等式 f(x) a 恒成立，试求 a 的取值范围考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等
7、式在区间上恒成立解 (1)依题意得 y x 4.fxx x2 4x 1x 1x因为 x0，所以 x 2，1x当且仅当 x ，即 x1 时，等号成立，1x所以 y2.所以当 x1 时， y 的最小值为2.fxx(2)因为 f(x) a x22 ax1，所以要使得“任意的 x0,2，不等式 f(x) a 恒成立”只要“ x22 ax10 在0,2上恒成立” 不妨设 g(x) x22 ax1，则只要 g(x)0 在0,2上恒成立即可所以Error!即Error!解得 a .34故 a 的取值范围为 .34， )12已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn(nN *)， bn是首项为 2 的等比数列
8、，且公比大于 0， b2 b312， b3 a42 a1， S1111 b4.(1)求 an和 bn的通项公式；(2)求数列 a2nbn的前 n 项和( nN *)考点 数列前 n 项和的求法题点 错位相减法求和解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.5由已知 b2 b312，得 b1(q q2)12.而 b12，所以 q2 q60，解得 q3 或 q2.又因为 q0，所以 q2.所以 bn2 n(nN *)由 b3 a42 a1，可得 3d a18.由 S1111 b4，可得 a15 d16.联立，解得 a11， d3，由此可得 an3 n2( nN *)所以数列
9、 an的通项公式为 an3 n2( nN *)，数列 bn的通项公式为 bn2 n(nN *)(2)设数列 a2nbn的前 n 项和为 Tn.由 a2n6 n2，得Tn42102 2162 3(6 n2)2 n，2Tn42 2102 3162 4(6 n8)2 n(6 n2)2 n1 .上述两式相减，得 Tn4262 262 362 n(6 n2)2 n1 4(6 n2)2 n1 (3 n4)2 n2 16 ，121 2n1 2所以 Tn(3 n4)2 n2 16.所以数列 a2nbn的前 n 项和为(3 n4)2 n2 16.13某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电
10、力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：产品消耗量资源 甲产品(每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电力(kwh) 4 5 200劳动力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、 y 吨，获得利润 z 万元依题意可得约束条件Error!作出可行域如图(阴影部分，含边界)6利润目标函数 z6 x12 y，由几何意义知，当直线 l： z6 x12 y 经过可
11、行域上的点 M 时， z6 x12 y 取最大值解方程组Error!得 x20， y24，即 M(20,24)所以生产甲种产品 20 吨，乙种产品 24 吨，才能使此工厂获得最大利润三、探究与拓展14若正实数 x， y， z 满足 x24 y2 z3 xy，则当 取最大值时， 的最大值为xyz 1x 12y 1z_考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 12解析 z x24 y23 xy， x， y， z(0，)， 1(当且仅当 x2 y 时等号成立)，xyz xyx2 4y2 3xy 1xy 4yx 3 12xy4yx 3此时 ，1x 12y 1z 1y 12y2令 t0，则 t t2 (t1) 2 (当且仅当 t1，即 y1 时等号成立)1y 1x 12y 1z 12 12 12 1215若不等式组Error!表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数 k 的取值范围是_考点 线性规划中的参数问题题点 线性规划中的参数问题答案 (0,1)解析 直线 y kx3 恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域(阴影部分所示)，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线 y kx3 的斜率在 0 与 1 之间，即 k(0,1)
