1、1模块综合试卷(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1.命题“ xR ， x2 x0”的否定是_.答案 xR， x2 x02.双曲线 x2 1 的渐近线方程为_.y24答案 y2 x解析 令 x2 0，得 y2 x，即为双曲线 x2 1 的渐近线方程.y24 y243.曲线 y x3 x3 在点(1,3)处的切线方程为_.答案 2 x y10解析 y x3 x3，所以 y3 x21，当 x1 时， k2，由点斜式方程得 y32( x1)，即 2x y10.4.命题“若 ab，则 ac2bc2(a， bR)”与它的逆命题、否命题、
2、逆否命题中，真命题的个数为_.答案 2解析 若 ab， c20，则 ac2 bc2.所以原命题为假.若 ac2bc2，则 c20 且 c20，则 ab.所以逆命题为真.又因为逆命题与否命题等价，所以否命题也为真.又因为，逆否命题与原命题等价，所以逆否命题为假.5.已知椭圆 1 的一个焦点为 F(3,0)，则 m_.x216 y2m答案 7解析 由题意，知 16 m3 2，解得 m7.6.若抛物线的焦点是双曲线 16x29 y2144 的左顶点，则抛物线方程为_.答案 y212 x解析 双曲线方程化为 1，左顶点为(3,0)，x29 y216由题意设抛物线方程为 y22 px(p0)，则 3，p
3、2 p6，抛物线方程为 y212 x.7.下列有关命题的说法错误的序号是_.命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1” ；2“ x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件；命题“ xR ，使得 x2 x10 的解集是 x|00,2x x20,00， f(x)单调递增，所以 f( )是极2 2 2小值， f( )是极大值，故正确；由题意知， f( )为最大值，且无最小值，故错误，2 2正确.12.已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切x2a2 y2b2的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C
4、的离心率为_.答案 2解析 如图，双曲线的焦点到渐近线的距离为 b，点 M 的坐标为 ，由 MN MF，可得(c，b2a)b ，所以 a b，离心率为 .b2a 213.设 F1， F2是椭圆 1( ab0)的左、右焦点，若直线 x ma(m1)上存在一点 P，使x2a2 y2b2 F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则实数 m 的取值范围为_.答案 (1,2)解析 因为 F1F22 c，所以 PF22 c.又 F2PF1为底角为 30的等腰三角形，所以 PF2F1120.设直线 x ma 与 x 轴交于点 D，所以 PF2D60，即 F2D c，所以 ma c c，即 m 2 e(0,2)
5、，2ca又 m1，所以 m(1,2).14.把长为 12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个等边三角形，那么这两个等边三角形的面积之和的最小值是_cm 2.4答案 2 3解析 设其中一段为 xcm，则面积之和 S 2 2 (x212 x72)，34(x3) 34(12 x3 ) 318S (x6).39令 S0，得 x6.当 x6 时， S0；当 x6 时， S0.所以当 x6 时， Smin2 (cm2).3二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15.(14 分)已知 p：10，使得 f(x0) y0；命题q：函数 ylg( ax2 x a)的定义域为 R.若“ p q”是真命题，
6、“p q”是假命题，求实数a 的取值范围.解 若命题 p 为真， x0R， y00，使得 f(x0) y0等价于 xR， f(x)0 恒成立，所以 a240 恒成立，则Error! 得 a ，12综上，当命题 q 为真时， a ；12又因为“ p q”是真命题， “p q”是假命题，所以 p， q 一真一假；当 p 真 q 假时，2ln21 且 x0 时，e xx22 ax1.(1)解 由 f(x)e x2 x2 a， xR，知 f( x)e x2， xR.令 f( x)0，得 xln2，6当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：7x (，ln2) ln2 (ln2，)f(
7、x) 0 f(x) 极小值 故 f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)， f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)2(1ln2 a).(2)证明 设 g(x)e x x22 ax1， xR，于是 g( x)e x2 x2 a， xR.由(1)知当 aln21 时， g( x)的最小值为g(ln2)2(1ln2 a)0.于是对任意 xR，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 上单调递增.于是当 aln21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0).而 g(0)0，从而对任意 x(0，)， g(x)0.即 ex x22 ax10，故 exx22
8、 ax1.19.(16 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32且过点 .过椭圆 C 的左顶点 A 作直线交椭圆 C 于另一点 P，交直线 l： x m(m a)于(1，32)点 M.已知点 B(1,0)，直线 PB 交 l 于点 N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值.解 (1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 a24 b2.32又因为椭圆 C 过点 ，所以 1，(1，32) 1a2 34b2解得 a24， b21.所以椭圆 C 的方程为 y21.x248(2)方法一 设 P
9、(x0， y0)，2 x02， x01，则 y 1.x204 20因为 MB 是 PN 的垂直平分线，所以 P 关于 B 的对称点 N(2 x0， y0)，所以 2 x0 m.由 A(2,0)， P(x0， y0)，可得直线 AP 的方程为 y (x2)，y0x0 2令 x m，得 y ，即 M .y0m 2x0 2 (m， y0m 2x0 2)因为 PB MB，所以 kPBkMB1，即 1，y0x0 1 y0m 2x0 2m 1即 1.y20m 2x0 1x0 2m 1因为 y 1，所以 1.x204 20 x0 2m 24x0 1m 1因为 x02 m，所以化简得 3m210 m40，解得
10、 m .5133因为 m2，所以 m .5 133方法二 当 AP 的斜率不存在或为 0 时，不满足条件.设 AP 的斜率为 k，则 AP： y k(x2)，联立Error! 消去 y，得(4k21) x216 k2x16 k240.因为 xA2，所以 xP ，所以 yP ， 8k2 24k2 1 4k4k2 1所以 P .( 8k2 24k2 1， 4k4k2 1)因为 PN 的中点为 B，所以 m2 .(*) 8k2 24k2 1 16k24k2 1因为 AP 交直线 l 于点 M，所以 M(m， k(m2)，因为直线 PB 与 x 轴不垂直，所以 1，即 k2 ， 8k2 24k2 1
11、1129所以 kPB ， kMB .4k4k2 1 8k2 24k2 1 1 4k12k2 1 km 2m 1因为 PB MB，所以 kPBkMB1，所以 1.(*) 4k12k2 1 km 2m 1将(*)代入(*)，化简得 48k432 k210，解得 k2 ，所以 m .41312 16k24k2 1 5133又因为 m2，所以 m .5 13320.(16 分)已知函数 f(x)ln x， h(x) ax(aR).(1)函数 f(x)与 h(x)的图象无公共点，试求实数 a 的取值范围；(2)是否存在实数 m，使得对任意的 x ，都有函数 y f(x) 的图象在 g(x)(12， )
12、mx的图象的下方？若存在，请求出最大整数 m 的值；若不存在，请说明理由.exx(参考数据：ln20.6931，ln31.0986， 1.6487， 1.3956).e 3e解 (1)函数 f(x)与 h(x)无公共点，等价于方程 a 在(0，)上无解.lnxx令 t(x) ，则 t( x) ，令 t( x)0，得 xe.lnxx 1 lnxx2当 x 变化时， t( x)， t(x)的变化情况如下表：x (0，e) e (e，)t( x) 0 t(x) 极大值 因为 xe 是唯一的极大值点，故 t(x)max t(e) ，1e故要使方程 a 在(0，)上无解，当且仅当 a ，lnxx 1e故
13、实数 a 的取值范围为 .(1e， )(2)假设存在实数 m 满足题意，则不等式 lnx 0，且 ( x)的(12， ) (12) 12图象在 上连续，所以存在 x0 ，使得 ( x0)0，即 ex0 0，则(12， 1) (12， 1) 1x0x0ln x0，所以当 x 时， (x)单调递减；当 x( x0，)时， (x)单调递增，(12， x0)则 (x)取到最小值 (x0)e x0ln x01 x0 12 110，1x0 x01x0所以 r( x)0，即 r(x)在区间 上单调递增.(12， )m r 12e ln 12 ln21.99525，(12) 12 12 12所以存在实数 m 满足题意，且最大整数 m 的值为 1.
