1、第 3 讲 因式分解陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳 考试要求 年份 题型 题号 分值 考查内容 分值比重因式分解会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进 行因式分解(指数是正整数)2014 填空题 12 3 用提公因式法分解因式2012 填空题 12 3用提公因式、完全平方公式法分解因式1.7%本节考查的知识点是因式分解，主要是用提公因式法和完全平方公式法来分解，且都稳定在填空题第 12 题考查，分值为 3 分，本节知识考查主要以基本技巧、基本计算为主预计在 2015 年的陕西中考中，仍会主要考查利用提公因式法和公式法进行因式分解，题型仍会稳定在填空题的第 12
2、 题来考查，分值为 3 分解决此类题，必须牢固掌握分解因式的方法，复习中应引起重视1因式分解把一个多项式化成几个_整式_积的形式，叫做因式分解，因式分解与_整式乘法_是互逆运算2基本方法(1)提取公因式法：mambmc _m(a bc)_公因式的确定： 系 数 ：取 各 项 整 数 系 数 的 最 大 公 约 数字 母 ：取 各 项 相 同 的 字 母指 数 ：取 各 相 同 字 母 的 最 低 次 数 )(2)公式法：运用平方差公式：a 2b 2 (ab)(a b) ； 因 式 分 解 整 式 乘 法运用完全平方公式：a 22abb 2 (ab)2. 因 式 分 解 整 式 乘 法3因式分解
3、的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号 ，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如 x44(x 22)(x 22)，在实数范围内分解因式 ，x44(x 22)(x )(x )，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解2 2分解彻底作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式这些统称分解彻底思考步骤多
4、项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的因此，拿到一道题目，先 试试这个方法，再试试那个 办法解 题时思考过程建议如下：(1)提取公因式； (2)看有几项； (3)分解彻底在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止变形技巧当 n 为奇数时，(ab) n(ba) n；当 n 为偶数时，(ab) n(ba) n.1(2014陕西)因式分解：m(xy)n(x y)_(xy)(m n) _2(2012陕西)分解因式：x 3y2x 2y2xy 3xy(xy) 2提取公因式法分解因式【例 1】 阅读下列
5、文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：(1)amanbmbn (ambm)(anbn)m(ab) n(ab)(a b)(mn)；(2)x2y 22y1x 2(y 2 2y1)x 2(y1) 2(xy1)(xy1) 试用上述方法分解因式：a 22abacbc b 2_(ab)(abc)_【点评】 (1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某 项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为 1， 不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式1(1)多项式 ax24a 与多项式 x24x4 的公因式是_x2_(2)把多项式(m1)
6、(m1)(m1) 提取公因式(m1)后，余下的部分是( D )Am1 B2m C 2 D m 2(3)分解因式：(xy) 23(x y)解：(xy) 23(xy)(xy)(xy3)运用公式法分解因式【例 2】 (1)(2014东营)3x 2y27y_3y(x3)(x 3)_；(2014邵阳) 将多项式 m2n2mn n 因式分解的结果是 _n(m1) 2_(2)分解因式：(2014黄冈)(2a1) 2a 2_(3a1)(a1)_；(2014淄博)8(a 21)16a_8(a1) 2_【点评】 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为 a2b 2 的形式，需注意对所给多项式要善于观察，
7、并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同 类项；(2) 用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征2分解因式：(1)9x21；(2)25(x y)29(xy) 2；(3)(2012临沂)a6ab 9ab 2；(4)(2013湖州)mx 2my 2.解：(1)9x 21(3x1)(3x1)(2)25(x y)29(xy) 25(xy)3(x y)5(x y) 3(xy)(8x 2y)(2x8y)4(4x y)(x 4y)(3)a6ab9ab 2a(16b9b 2)a(13b) 2(4)mx2my 2 m(x2y
8、 2)m(xy)(x y)综合运用多种方法分解因式【例 3】 给出三个多项式： x2x1， x23x1， x2x，请你选择其中两个进12 12 12行加法运算，并把结果分解因式解：( x2x1)( x23x1) x 24xx(x4)；( x2x1)( x2x)12 12 12 12x 21(x1)(x 1)；( x23x1) ( x2x) x 22x1(x 1) 212 12【点评】 灵活运用多种方法分解因式 ，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止3(1)(2014武汉 )分解因式：a 3aa(a1)(a1)；(2)(2014黔东南州 )分解因式：
9、x 35x 26x_x(x3)(x 2)_；(3)分解因式：(x2)(x4) x24；解：(x2)(x 4)x 24(x2)(x 4)(x2)(x 2)(x2)(x 4x2)(x2)(2x2)2(x 2)(x1)(4)在实数范围内分解因式：m 49.解：m 49(m 23)(m 23)(m 23)(m )(m )3 3因式分解的应用【例 4】 (2014河北)计算：85 215 2( D )A70 B700 C 4900 D7000【点评】 利用因式分解，将多 项式分解之后整体代入求值4(1)(2014徐州 )若 ab2，ab1，则代数式 a2bab 2 的值等于_2_(2)已知 a，b，c
10、是ABC 的三边长，且满足 a3ab 2bc 2b 3a 2bac 2，则ABC的形状是( C )A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形(3)(2014北京)已知 xy ，求代数式(x1) 22xy(y2x)的值3解：原式x 22xyy 21(xy) 21，把 xy 代入，原式3143试题 如果 a，b，c 都是整数，且满足 a23b 23c 22ab4b12c13，求 a，b，c的值审题视角 问题中只有一个不等量关系 ，未知字母有三个考虑到问题中的完全平方式，应用非负数的性质来解决问题，把未知字母组成方程或方程组所有不小于 0 的实数称为非负数，学过的一些代数式的绝
11、对值或它的平方式、它的算术平方根等，都是非负数关于非 负数，有下面的结论：若干个非 负数的和等于 0，则这些非负数均为 0；一个数和它的相反数同时不小于 0 或同时不大于 0，那么这个数一定是 0.当已知若干个非负数的和为 0 时，常常可由此得出若干个代数式等于 0 的结果(含未知数的等式方程)，由它们组 成的方程或方程组( 未知数 )的值为我们解决相应的问题开辟了途径规范答题解：a 23b 23c 22ab 4b 12c13，将已知不等式变化为：a23b 23c 2132ab 4b 12c0，a22abb 22b 24b23c 212c121，(a22abb 2) 2(b22b1)3(c 2
12、4c4)1，(ab) 22(b1) 23(c2) 21.a，b，c 都是整数，不等号左边是三个非负整数之和，(ab) 22(b1) 23(c2) 20，只能是(a b) 22(b1) 2 3(c2) 20，根据非负数的性质，可得 ab0，且 b10，且 c20，ab1，c2.答题思路第一步：移项把所有的项移到等式或不等式的一 边，使得另一 边为零；第二步：拆项把代数式拆分成几个完全平方式；第三步：配方把代数式配方成几个完全平方式的和的形式；第四步：应用一个实数的完全平方是非负数以及非负数的性质，得到关于未知字母的方程或方程组，解方程或方程组，即得未知字母的值，从而解决问题第五步：反思回顾查看关
13、键点、易错点，完善解题步骤试题 分解因式：(1)20m3n15m 2n25m 2n；(2)4x216y 2；(3)m(ab) n(ba) ；(4)3x 218x27.错解 (1)20m 3n15m 2n25m 2n5m 2n(4m3n) ；(2)4x216y 2(2x4y)(2x4y)；(3)m(ab) n(ba) (ab)(mn)；(4)3x 218x273(x 2 6x9)剖析 学习因式分解，若对分解因式的方法不熟 练，理解不透彻，可能会出现各种各样的错误因式分解提取公因式后 ，括号内的项一定要与原来的 项数一样多，错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提取公因式还有符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，错解忽视提取系数的最大公约数；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解正解 (1)20m 3n15m 2n25m 2n5m 2n(4m3n1) ；(2)4x216y 24(x2y)(x2y)；(3)m(ab) n(ba) m(a b)n(ab)(a b)(m n) ；(4)3x 218x273(x 2 6x9)3(x3) 2.
