1、第十三章 轴对称,13.4 课题学习 最短路径问题,广东学导练 数学 八年级上册 配人教版,课前预习,1. 我们已经学习过“两点的所有连线中， .”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ”等问题，我们称它们为最短路径问题. 2. 如图13-4-1所示：从A地到B地有三条路可供选择，其中最近的是第 条路，理由是 .,线段最短,垂线段最短,两点之间线段最短,3. 如图13-4-2,A,B在直线l的两侧，请在l上选取一点P，使得这个点到点A，B的距离之和最短，即PA+PB最小. 请问这样选取的理由是 即此时PA+PB= .,两点之间线段最短,AB,4. 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的
2、和 最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的 ，连接 与 ，则与该直线的交点即为所求. 5. 在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.,对称点,对称点,另一个点,轴对称,平移,6. 如图13-4-3，四边形ABCD中，BAD=120，B=D=90，在BC，CD上分别找一点E和F，使AEF的周长最小，此时AEF+AFE的度数为 .,120,名师导学,新知1,运用轴对称解决距离最短问题,运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点
3、，这两点到直线上某点的距离和最小这个核 心，所有作法都相同.,【例1】如图13-4-4，一个牧童在小河的南边A处牧马，而他正位于他的小屋B处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 问：马牵到小河边什么地方饮水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.,例题精讲,解析 本题要在河边找一点D，使AD+BD最小. 可作出点A关于河南岸所在直线的对称点A，连接AB，交河岸于点D，则点D是马饮水的位置.解 如图13-4-5，作出点A关于河的对称点A，连接AB，交河岸于点D，则点D是马饮水的位置.,注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比
4、较来说明最值问题是常用的一种方法. 解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求， 导致答非所问.,举一反三,1 直线l是一条河，A,B两地相距5 km，A,B两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A,B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( ),A,2 直线l是一条河，P，Q是两个村庄计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是( ),D,3 如图13-4-6，点P为AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接
5、P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则PMN周长为( )A 4B 5C 6D 7,C,新知2,利用平移确定最短路径选址,解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.,【例2】如图13-4-7，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一小桥DC，请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小（假定两河岸m，n是平行的，且桥要与河垂直），要求简单写出作图过程并
6、保留作图痕迹.,例题精讲,解析 A到B要走的路线是ADCB，如图13-4-8所示，而DC是定值，于是要使路程最短，只要ADBC最短即可. 此时两线段应在同一平行方向上，平移DC到AA1，从A1到B应是余下的路程，连接BA1的线段即为最短的，此时不难说明点C即为建桥的位置，DC即为所建的桥. 解 (1)如图13-4-8，过点A作AA1垂直于河岸，且使AA1等于河宽. (2)连接BA1与河岸的一边交于点C. (3)过点C作河岸的垂线交另一条河 岸于点D. 则DC为所建的桥的位置.,举一反三,1 如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( ),D,2 如图13-4-10，要在一条河上架一座桥MN（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E,F两地的路程最短的是( ),B,3 有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是( ),D,
