1、 【考纲解读】考 点 考纲内容 五年统计 分析预测等差数列的概念与运算1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；2.了解等差数列与一次函数.2014浙江文 19；2015浙江文 10,17；理3；2016浙江文 8；,理 6；2017浙江 6；2018浙江 20.等差数列的前 n项和1.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用；2.会用数列的等差关系解决实际问题.2014浙江文 19； 2015浙江理 3；2016浙江文 8；,理 6；2017浙江 6； 2018浙江 20.1.利用方程思想进行基本量的计算 .2等差、等比数列的综合问题 .3.特别关注:(1)方程思想在数列计算中的应用;(2
2、)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用 .【知识清单】一等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d表示.用递推公式表示为1(2)nad或 1(1)nad.2.等差数列的通项公式： ；说明：等差数列（通常可称为 AP数列）的单调性： d0为递增数列， 0d为常数列， 0d 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果 a， ， b成等差数列，那么 叫做 a与 b的等差中项,其中 2abA .a， A， b成等差数列 2abA.4.等差数列的前 n和的
3、求和公式： 11()()2nnaSd.5.要注意概念中的“从第 2项起” 如果一个数列不是从第 2项起，而是从第 3项或第 4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别二、等差数列的前 n项和等差数列的前 和的求和公式： 11()()22nnaSd.三、等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列 na中，从第 2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a， 3， 5， 7，； 3， 8a， 13， 8，；（3）在等差数列 na中，对任意 m， nN， (
4、)nmad， nma()；（4）在等差数列 中，若 ， ， p， q且 pq，则 pq,特殊地，2mpq时，则 2mpq， m是 、 的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 232,nnnSS成等差数列.（6）两个等差数列 na与 b的和差的数列 nab仍为等差数列（7）若数列 是等差数列,则 nk仍为等差数列2设数列 n是等差数列，且公差为 d， （）若项数为偶数，设共有 2n项，则 -Snd奇 偶 ； 1nSa奇偶；（）若项数为奇数，设共有 21n项，则 S偶 奇 na中 (中间项)； 1奇偶 .3. ,pqp,则 0pqa, mnnSd.4.如果两个等差数
5、列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数5.若 na与 b为等差数列，且前 n项和分别为 nS与 ，则 21maSb.6等差数列的增减性： 0d时为递增数列，且当 10时前 n项和 n有最小值 0d时为递减数列，且当 10a时前 n项和 nS有最大值【重点难点突破】考点 1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】 【名校联盟 2018年第二次适应与模拟】数列 是等差数列， ， ，则 （ ） 1=1 4=8 5=A 16 B -16 C 32 D 313【答案】D【解析】因为 ，所以 ，4=8 1+3=8又因为 ，所以
6、，1=1=73可得 ，故选 D.5=1+4=313【1-2】 【2017 全国卷 1（理） 】记 nS为等差数列 na的前 项和若 452a， 68S，则 na的公差为（ ）.A1 B2 C4 D8【答案】C【1-3】 【2018 年理北京卷】设 是等差数列，且 a1=3， a2+a5=36，则 的通项公式为_【答案】【领悟技法】1等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列 na，若 dan1N(常数)，则数列 na是等差数列；(2) 等差中项：对于数列 ，若 22n，则数列 是等差数列;(3)通项公式： npq( ,为常数, ) a是等差数列;(4)前 项和公式： 2SABn( 为常数,
7、 ) n是等差数列;(5)na是等差数列 是等差数列.2活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 1a和 d等基本量，通过建立方程(组)获得解即等差数列的通项公式 1()nad及前 n项和公式 1()22nnSad，共涉及五个量 1,nadS，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 1、 ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为 ,ad；四个数成等差数列，一般设为3
8、,3adad.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用 123,a验证即可5.等差数列的前 n项和公式若已知首项 1a和末项 ，则 1()2nnaS，或等差数列 an的首项是 1，公差是 d，则其前 n项和公式为 ()2nSd.【触类旁通】【变式一】 【2018 届湖南省湘潭市四模】已知数列 是公差为 2的等差数列，且 ，+1 1=1，则 _3=9 =【答案】 (23+3)2【解析】 =2n2，+1 =2（n1）2+2（n2）2+22+1= 2（n1）+1=n 23n+32(1)2a n= n=1 时也成立(23+3)2则 an (23+3)2故
9、答案为： (23+3)2【变式二】 【2018 届江西省南昌市二轮测试（七） 】下表中的数表为“森德拉姆筛” （森德拉姆，东印度学者） ，其特点是每行每列都成等差数列2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37 在上表中，2017 出现的次数为（ ）A 18 B 36 C 48 D 72【答案】B【解析】考点 2 等差数列的性质【2-1】 【2018 届河北省武邑中学第二次调研】数列 na满足 12nna 2，且1359a， 24612a，则 345（ ）A
10、. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】数列 na满足 12nna 2，则数列 na是等差数列，利用等差数列的性质可知： 345461.本题选择 D选项.【2-2】 【2018 届东北师范大学附属中学五模】我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5尺，头部 尺，重 斤，尾部 尺，重 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少1 4 1 2斤 ”A 6 斤 B 7 斤 C 斤 D 斤8 9【答案】D【解析】【2-3】 【2018 届云南省昆明一中第二次月考】在数
11、列 na中， 28， 52a，且 12nna（*nN） ，则 1210aa 的值是（ ）A. -10 B. 10 C. 50 D. 70【答案】C【解析】由 12nna得 12na，即数列 na是等差数列，由 258a， ，可得10d， ，所以 ， ，当 6时， 0，当 7时， 0n，所以2106105S，选 C【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项
12、的序号之间的关系3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前 n项和公式4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【触类旁通】【变式一】已知 nS是等差数列 na的前 项和，且 675S，给出下列五个命题： 0d；10S； 12；数列 S中的最大项为 1； a，其中正确命题的个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【变式二】 【”超级全能生”2018 届高考全国卷 26省 9月联考乙卷】已知数列 ,nab满足121,ab，且对任意的正整数 m,npq，当 npq时，都有 mp
13、q，则2018iiab的值是_【答案】 9【解析】由题意可得 212ab， ， 312,ab得 3a，又 11nnba， 1 0nnab，即 ,nnn，原式可化为当 m+n=p+q时mpqa，即 n为等差列， ， 2018iiab= 2018iia=2019，填 2019.考点 3 等差数列的前 项和公式的综合应用【3-1】 【2018 届福建省莆田第九中学高考模拟】等差数列 的前 项和为 ,且 ， .设 10 50=0，则当数列 的前 项和 取得最大值时 , 的值为（ ）=+1+2() A 23 B 25 C 23 或 24 D 23 或 25【答案】D【3-2】 【2018 届山东、湖北部
14、分重点中学冲刺模拟（二） 】已知直线 与直线+2+5=0互相平行且距离为 .等差数列 的公差为 ，且 ，令+115=0 78=35,4+100”是“ S4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】由 dadaS)105(2102564 ，可知当 0，则 02564S，即564S，反之， 64，所以为充要条件，选 C【变式二】 【2018 届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列 na满足 37， 4627a，且 1na有最小值，则这个最小值为_【答案】-12【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列 na中，已知 a12
15、0，前 n项和为 nS，且 S10S 15，求当 n取何值时， nS有最大值，并求出它的最大值【错解一】 设公差为 d，S 10S 15，1020 d1520 d.得1092 15142d ，a n20(n1) .53 53当 an0 时，20(n1) 0，n13.n12 时，S n最大，S 121220 130.53 12112 ( 53)当 n12 时，S n有最大值 S12130.【错解二】 由 a1 20，S 10S 15，解得公差 d ，令5320 （ n 1） ( 53) 0， 20 n( 53) 0， )由得 n13，由得 n12，n12 时，S n有最大值 S12130.易错分
16、析： 错解一中仅解不等式 an 0不能保证 Sn最大，也可能 an1 0，应有 an0 且 an1 0.错解二中仅解 an1 0 也不能保证 Sn最大，也可能 an0，应保证 an0 才行正确解析： 解法一： a1 20， S10 S15， 1020 d 1520 d.d .1092 15142 53温馨提醒：1.解决等差数列前 n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即当 a10，d0 时，S n最大 10na；当 a10，d0 时，S n最小 10na.2.在关于正整数 n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方
17、面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量【学科素养提升之思想方法篇】-函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1等差数列的前 n项和与函数的关系等差数列的前 n项和公式为 1()2nSad可变形为 Sn n2 n，令 A ， B a1 ，则d2 (a1 d2) d2 d2Sn An2 Bn.当 A0，即 d0 时， Sn是关于 n的二次函数，( n， Sn)在二次函数 y Ax2 Bx的图象上，为抛物线y Ax2 Bx上一
18、群孤立的点利用此性质可解决前 n项和 Sn的最值问题2等差数列前 n项和的最值(1)若等差数列的首项 a10，公差 d0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前 n项和有最小值，且满足Error!3求等差数列前 n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前 n项和的最值，但要注意 nN *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定 n的值，使 Sn取得最值(3)项的符号法：当 a10， d0时，满足Error!的项数 n，使 Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使 Sn取最值的 n有两个【典例】 【2018 届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列 na是一个等差数列，且 21a， 5.（）求 na的通项 n；（）求 前 n项和 S的最大值【答案】 （1） 25；（2） n的最大值为 4. 【解析】
