1、一、导数的计算问题 例 1 求下列函数的导数(1)y x2sin x；(2) yln x ；(3) y ；(4) ysin(2 x )；(5) yln(2 x5)1x cos xex 3点拨 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元巩固 1(1) （2018 天津文）已知函数 f(x)=exlnx， f ( x)为 f(x)的导函数，则 f （1）的值为 (2)已知函数 f(x)
2、的导函数为 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1) x2，则 f(1)_.二、导数的几何意义例 2已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)ln( x)3 x，则曲线 y f(x)在点(1，3)处的切线方程是 【解析】 设 x0，则 x0， f( x)ln x3 x，又 f(x)为偶函数， f(x)ln x3 x， f( x) 3， f(1)2，1x切线方程为 y2 x1，即 2x y10.【答案】 2 x y10巩固 2(1) （2018 全国新课标理）曲线 ln()x在点 (0,)处的切线方程为_(2)若点 P是曲线 y x2ln x上任意一点，则点 P到直线 y x2 的距离的
3、最小值是_例 3函数 ye x的切线方程为 y mx，则 m .【答案】 e 巩固 3(1) （2018 全国新课标理）曲线 1exya在点 01， 处的切线的斜率为 2，则a_(2)已知函数 f(x) xln x，若直线 l过点(0，1)，并且与曲线 y f(x)相切，则直线 l的方程为( )A x y10 B x y10C x y10 D x y10例 4 如图，点 A(2,1)， B(3,0)， E(x,0)(x0)，过点 E作 OB的垂线 l.记 AOB在直线 l左侧部分的面积为 S，则函数 S f(x)的图象为下图中的( )【解析】 函数的定义域为0，)，当 x0,2时，在单位长度变
4、化量 x内面积变化量 S大于 0且越来越大，即斜率 f( x)在0,2内大于 0且越来越大，因此，函数 S f(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当 x(2,3)时，在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于 0且越来越小，即斜率 f( x)在(2,3)内大于 0且越来越小，因此，函数 S f(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当 x3，)时，在单位长度变化量 x内面积变化量 S为 0，即斜率 f( x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于 x轴的射线【答案】 D巩固 4已知 y f(x)是可导函数，如图，直线 y kx2 是曲线 y f(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)，
5、g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3)等于( )A1 B0 C2 D4点拨：导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0， f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值： k f( x0)(2)已知斜率 k，求切点 A(x1， f(x1)，即解方程 f( x1) k.(3)若求过点 P(x0， y0)的切线方程，可设切点为( x1， y1)，由Error!求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢答案与解析【答案】 e(2)【解析】 f( x)2 f(1)2 x
6、，令 x1，得 f(1)2 f(1)2， f(1)2.【答案】 2巩固 2(1) 【解析】 1yxQ，201k， yx【答案】 yx(2)【解析】 设 P(t， t2ln t)，由 y2 x ，得 k2 t 1( t0)，解得 t1.1x 1t所以过点 P(1,1)的切线方程为 y x，它与 y x2 的距离 d 即为所求22 2【答案】 2巩固 3(1) 【解析】： ，则 ，(1)xxae(0)1fa所以 .a【答案】：【答案】 B巩固 4【解析】 由题图可知曲线 y f(x)在 x3 处切线的斜率等于 ， f(3) .13 13 g(x) xf(x)， g( x) f(x) xf( x)， g(3) f(3)3 f(3)，又由题图可知 f(3)1， g(3)13( )0.13【答案】 B
