1、高考解答题专项练数列1.已知正数数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 =Sn+Sn-1(n2),a 1=1.2(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=(1-an)2-a(1-an),若 bn+1bn对任意 nN *恒成立,求实数 a 的取值范围.解 (1) =Sn+Sn-1(n2), =Sn-1+Sn-2(n3).2 2-1两式相减可得 =Sn-Sn-2=an+an-1, an-an-1=1.22-1 a1=1, 正数数列a n是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列, an=n.(2) bn=(1-an)2-a(1-an), bn+1=(1-an+1)2-a(1-an+1).即 b
2、n=(1-n)2-a(1-n)=n2+(a-2)n+1-a,bn+1=1-(n+1)2-a1-(n+1)=n2+an.故 bn+1-bn=2n+a-1.再由 bn+1bn对任意 nN *恒成立可得 2n+a-10 恒成立,故 a1-2n 恒成立.而 1-2n 的最大值为 1-2=-1,故 a-1,即实数 a 的取值范围为(-1,+).2.已知数列a n满足 a1=1,Sn=2an+1,其中 Sn为 an的前 n 项和 (nN *).(1)求 S1,S2 及数列S n的通项公式;(2)若数列b n满足 bn= ,且b n的前 n 项和为 Tn,求证:当 n2 时, |Tn|(-1) 13 79.
3、(1)解 数列a n满足 Sn=2an+1,则 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),即 3Sn=2Sn+1, +1=32.即数列S n为以 1 为首项,以 为公比的等比数列,32 Sn= (nN *). S1=1,S2=(32)-1 32.(2)证明 在数列b n中,b n= =(-1) ,Tn为 bn的前 n 项和,(-1) (-1)-1(32)-1=(-23)-1则|T n|=|(-1)1+(-23)+49+(-23)3+(-23)-1|1+(-23)+49+(-23)3+(-23)-1|.而当 n2 时,1- 1+23 (-23)+49+(-23)3+(-23)-1,即 |Tn|1+
4、(-23)+49|=79 13 79.3.已知数列a n满足: -an-an+1+1=0,a1=2.2(1)求 a2,a3;(2)证明数列a n为递增数列;(3)求证: + 0,对 nN *恒成立, an+1an.2(3)证明 an+1-1= -an,故 ,2 1+1-1= 12-= 1-11故 ,1= 1-1 1+1-1故 + +11+12+13 1=( 11-1- 12-1)+( 12-1- 13-1)=1- 0,mN *,q(1, ,证明: 存在 dR ,使得|a n-bn|b 1 对 n=2,3,m+1 均成立,并求 d 的取2值范围(用 b1,m,q 表示).解 (1)由条件知,a
5、n=(n-1)d,bn=2n-1.因为|a n-bn|b 1 对 n=1,2,3,4 均成立,即|(n-1)d-2 n-1|1 对 n=1,2,3,4 均成立,即 11,1d3,32d5,73d9,得 d7352.因此,d 的取值范围为 73,52.(2)由条件知,a n=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.若存在 d,使得|a n-bn|b 1(n=2,3,m+1)成立,即|b 1+(n-1)d-b1qn-1|b 1(n=2,3,m+1),即当 n=2,3,m+1 时,d 满足 b1d b1.-1-2-1 -1-1因为 q(1, ,则 10,对 n=2,3,m+1 均成立.-1-2-1
6、-1-1因此,取 d=0 时,|a n-bn|b 1 对 n=2,3,m+1 均成立.下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值(n=2,3, ,m+1).-1-2-1 -1-1 当 2nm 时, ,-2-1-2-1=-1+2(-1) =(-1)-+2(-1)当 10.21因此,当 2nm+1 时,数列 单调递增,-1-2-1故数列 的最大值为-1-2-1 -2. 设 f(x)=2x(1-x),当 x0 时,f (x)=(ln 2-1-xln 2)2x0,所以 f(x)单调递减,从而 f(x)f(0)=1.当 2nm 时, =f 1,-1-1=(-1) 21(1-1)(1)因此,当 2nm+1 时,数列 单调递减,-1-1故数列 的最小值为-1-1 .因此,d 的取值范围为 1(-2),1.
