1、单元质检四 三角函数、解三角形(时间:120 分钟 满分:150 分)单元质检卷第 7 页 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018 浙江绍兴上虞第二次教学质量调测 )“cos 2= 是“ =k+ (kZ)”的( )12” 6A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B2.(2017 浙江杭州模拟)已知 是第四象限角,sin =- ,则 tan =( )1213A.- B C.- D513 .513 125 .125答案 C3.设ABC 的内角 A,B,C 所对
2、的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答案 B4.(2017 浙江杭州四校联考)已知- 0)个单位后的图象关于 y3轴对称,则 a 的最小值是( )A B C D. 6 . 3 . 2 .2 3答案 B解析 依题意得 f(x)=2sin ,因为函数 f(x-a)=2sin 的图象关于 y 轴对称,所以(- 6) (- 6)sin =1,a+ =k+ ,kZ,即 a=k+ ,kZ ,因此正数 a 的最小值是 ,选 B.(- 6) 6 2 3 38.(2017 浙江绍兴期中)f( x)=
3、Acos(x+)(A,0)的图象如图所示 ,为得到 g(x)=-Asin 的图象,(+ 6)可以将 f(x)的图象( )A.向右平移 个单位长度5 6B.向右平移 个单位长度5 12C.向左平移 个单位长度5 6D.向左平移 个单位长度5 12答案 D解析 由题意可得 A=1, T= ,解得 =2,14 142 =7 12 3 f(x)=Acos(x+)=cos(2x+).再由五点法作图可得 2 += , =- , 3 2 6 f(x)=cos =cos 2 ,(2- 6) (- 12)g(x)=-sin =cos =cos 2 ,(2+ 6) (2+ 6+ 2) (+ 3)而 , 3(- 1
4、2)=5 12故将 f(x)的图象向左平移 个单位长度,5 12即可得到函数 g(x)的图象,故选 D.9.已知函数 f(x)=2sin(x+)+1 ,其图象与直线 y=-1 相邻两个交点的距离为 .若 f(x)1(0,|2)对于任意的 x 恒成立,则 的取值范围是( )(-12,3)A B C D.6,3 .12,2 .12,3 .(6,2答案 A解析 由条件可知函数 f(x)的周期为 ,则 =2,f(x)=2sin(2x+)+1.由 f(x)=2sin(2x+)+11,得 sin(2x+)0,从而可知 2k0,xR),最小正周期 T=,则实数 = ,函(+ 6)数 f(x)的图象的对称中心
5、为 ,单调递增区间是 . 答案 2 (kZ) (kZ)( 2- 12,0) (- 3,+ 6)12.已知 00,|0,由基本不等式可得 +3tan A2 ,当且仅当 tan A= 时等号成立,1 3 33 tan B 的最大值为223=33.三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14 分)(2017 浙江金华十校联考 )如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆分别交于点 A,B 两点,x 轴正半轴与单位圆交于点 M,已知 SOAM= ,点 B 的纵55坐标是210.(1)求 cos(-)的值
6、;(2)求 2- 的值.解 (1)由题意,OA=OM= 1, SOAM= 和 为锐角,55 sin = ,cos = ,255 55又点 B 的纵坐标是 , sin = ,cos =- ,210 210 7210 cos(-)=cos cos +sin sin = =-55(-7210)+2552101010.(2) cos 2=2cos2-1=2 -1=- ,(55)2 35sin 2=2sin cos =2 ,25555=45 2( 2, )., 2- ,( 2, ) (- 2, 2) sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin =- ,22故 2-=- 4.19.(15 分)(
7、2018 浙江金华十校 4 月模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B2.(1)求证:c=2b;(2)若ABC 的面积 S=5b2-a2,求 tan A 的值.(1)证明 由 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,有sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为 B ,所以 sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.2(2)解 因为ABC 的面积 S=5b2-a2,所以有 bcsin A=5b2-a2,12由(1)知 c=2b,
8、代入上式得 b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有 a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入 得 b2sin A=4b2cos A,故 tan A=4.20.(15 分)(2018 浙江杭州二中 6 月模拟)设函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0)个单位长度后关于点 (-1,0)对称,求 的最小值.解 (1)由题意知,A=2,周期 T=2 =1,(712-112) = =2,再由 f =2sin =2,2 (112) (2112+)即 sin =1,得 += +2k(kZ ),(6+) 6 2又|0)个单位长度后,得 g(x)=2sin ,2(+)+
9、3由题意,g(- 1)=2sin =0,2(-1)+3 2(-1)+ =k(kZ),= (kZ),3 2+56当 k=-1 时, 的最小值为13.21.(15 分) 如图,在ABC 中,AB=2,cos B= ,点 D 在线段 BC 上.13(1)若ADC= ,求 AD 的长;34(2)若 BD=2DC,ACD 的面积为 ,求 的值.432 解法一 (1)在三角形中, cos B= , sin B=13 223.在ABD 中,由正弦定理得 ,=又 AB=2,ADB= ,sin B= AD=4 223. 83.(2) BD=2DC, SABD=2SADC,SABC=3SADC,又 SADC= ,
10、 SABC=4432 2. SABC= ABBCsinABC, BC=6.12在ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC. AC=4 2. SABD= ABADsinBAD ,SADC= ACADsinCAD,12 12SABD =2SADC , =2 ,=2 =42.解法二 (1)同解法一.(2) BD=2DC, SABC=3SADC=4 ,2又 SABD= ABBCsinABC,12 BC=6, BD=4,CD=2.在ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC, AC=4 2.在ABD 中,由正弦定理得 ,= 即 sinBAD=
11、 =2sinADB ,同理在ACD 中,由正弦定理得 sinCAD=22.又 sinADB=sinADC,=4=222 2.22.(15 分)(2018 浙江学军中学 5 月模拟)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x+2 sin xcos x.3(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)若在ABC 中,f(A)+f(B) =0,C= ,求 的值.6 解 (1)由题意得 f(x)=-cos 2x+ sin 2x= sin 2x-cos 2x=2sin ,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=3 3 (2-6)=.22(2)因为 f(A)+f(B)=0,所以 2sin +2sin =0,(2-6) (2-6)因为 A+B= ,所以 B= -A,56 56所以 2sin +2sin =0,(2-6) 2(56-)-6 2sin +2sin =0,(2-6) (32-2) sin -cos 2A=0,(2-6)sin =0,3 (2-3) A= 或 A=6 23.所以 A= ,B= 或 A= ,B=6 23 23 6.所以=623=33或 =236=3.
