1、2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算【情境导学】 “向量几何是游戏程序员最好的朋友”,向量几何在游戏编程中有着重要的地位,显示屏幕就是一个坐标系,运动物体的轨迹就是物体在这个坐标系曲线运动的结果,而描述这些曲线运动的就是向量,你知道编写一个飞行射击游戏的原理吗?提示:向量的坐标化和基本的向量运算.【选题明细表】知识点、方法 题号平面向量的坐标表示 1,7,9平面向量的坐标运算 3,4,6,8,10,11利用基底表示平面向量 2,51.给出下面几种说法:相等向量的坐标相同;平面内一个向量的直角坐标是唯一的;一个坐标对应于唯一一个以原点为始点的向量;平面内一个点与以原点为始点,该点为终点
2、的向量一一对应.其中正确说法的个数是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:平面内点的坐标与以原点为始点的向量一一对应.故选 D.2.(2017河南郑州月考)下列各组向量中,能作为一组基底的是( D )(A)e1=(0,2),e2=(0,-1)(B)e1=(2,1),e2=(-4,-2)(C)e1=(3,1),e2=(5, )53(D)e1=(-2,1),e2=(4,2)解析:A,B,C 三个选项中都有 e1e 2,故不可作为一组基底,只有 D 选项 e1与 e2非零且不共线,可作为一组基底.故选 D.3.AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, =(2,4), =(1,3)
3、,则 等 于( D )(A)(2,4) (B)(3,7)(C)(1,1) (D)(-1,-1)解析:由平行四边形法则知, = + .所以 = - =(1,3)-(2,4)=(-1,-1).故选 D.4.已知四边形 ABCD 的顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 =2 ,则 顶点 D 的坐标为( A )(A)(2, ) (B)(2,- )72 12(C)(3,2) (D)(1,3)解析:设 D(x,y),则 =(x,y-2), =(4,3). 因为 =2 , 所以(4,3)=2(x,y-2).所以 2=4,2(2)=3.所以 =2,=72.即 D(2, ).故选 A.725.
4、已知 e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e 1,e2为基底,将 a 分解为 1e1+ 2e2的形式为 . 解析:设 a= 1e1+ 2e2( 1, 2R),则(-1,2)= 1(1,2)+ 2(-2,3)=( 1-2 2,2 1+3 2),所以1=122,2=21+32,1=17,2=47.所以 a= e1+ e2.17 47答案:a= e1+ e217 476.已知 O(0,0)和 A(6,3)两点,若点 P 在直线 OA 上,且 = ,又点 P 是12线段 OB 的中点,则点 B 的坐标是 . 解析:(1)点 P 在线段 OA 上,则 =2 , - =2 , 所以
5、 = =(2,1),13所以点 P 坐标为(2,1),因为 P 是 OB 中点,所以点 B 的坐标为(4,2).(2)点 P 在线段 AO 延长线上,则 =-2 , 所以 - =-2 , 所以 =- =(-6,-3), 所以点 P 的坐标是(-6,-3).因为 P 是 OB 中点,所以点 B 的坐标为(-12,-6).答案:(4,2)或(-12,-6)7.已知点 P1(2,-1),P2(0,5),且点 P 在 P1P2的延长线上,| |=2| |,则1 2P 点坐标为( A )(A)(-2,11) (B)( ,3)43(C)( ,3) (D)(2,-7)23解析:因为点 P 在 P1P2的延长
6、线上,且| |=2| |,1 2所以 =-2 ,1 2设 P(x,y),则(x-2,y+1)=-2(-x,5-y),所以 2=2,+1=10+2,解得 故选 A.=2,=11.8.已知 a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若表示向量 a,-2b,3c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则 c 等于( D )(A)(1, ) (B)( , )83 133 83(C)( , )(D)(- ,- )133 43 133 43解析:三条有向线段首尾相接构成三角形,则对应向量之和为零向量,即 a-2b+3c=0,所以 a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(5+8
7、+3x,-2+6+3y)=(0,0),所以 所以5+8+3=0,2+6+3=0, =133,=43.故选 D.9.已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,| |=2,xOA=150,则向量的坐标为 . 解析:设 =(x,y),所以 x=| |cos 150=2(- )=- ,32 3y=| |sin 150=2 =1,12所以 的坐标为(- ,1). 3答案:(- ,1)310.已知 a=(3x+4y,-2x-y),b=(2x-3y+1,-3x+ y+3),若 2a=3b,试求169x 与 y 的值.解:因为 a=(3x+4y,-2x-y),b=(2x-3y+1,-3x+ y+3),169所
8、以由 2a=3b 可得(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+ y+9),163所以 6+8=69+3,42=9+163+9,解得 =3517,=317.11.已知向量 a=( , ),b=(-1,2),c=(2,-4),是否存在一个向量 d,使1232表示向量 2a-b+ c 及 4(c-a)与 d 的三个有向线段适当平移后 ,能形12成一个首尾顺次连接的三角形.解:假设向量 d 存在,则 2a-b+ c+4(c-a)+d=0,12所以-2a-b+ c+d=0.92所以 d=2a+b- c92=2( , )+(-1,2)- (2,-4)1232 92=(1,3)+(-1,2)-(9,-18)=(-9,23).又 d 与 2a-b+ c 及 4(c-a)不共线,12故存在向量 d=(-9,23)满足条件.
