1、精选同步测试( 十二)(建议用时：45 分钟)基础夯实一、选择题1下列条件中，能使直线 m平面 的是( )Amb，mc ，b，c Bmb，b CmbA，b Dmb，b【解析】 由线线平行及线面垂直的判定知选项 D 正确【答案】 D2如图 236，三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC ，则直线 PB 和平面ABC 所成的角是( )图 236ABPAB PBAC PBCD以上都不对【解析】 由 PAAB ，PA BC，ABBCB，得 PA平面 ABC，所以PBA 为 BP 与平面 ABC 所成的角故选 B.【答案】 B3已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( )
2、A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在【解析】 若异面直线 m、n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在【答案】 B4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( )A. B.23 33C. D.23 63【解析】 如图所示，连接 BD 交 AC 于点 O，连接D1O，由于 BB1DD 1， DD1 与平面 ACD1 所成的角就是BB1 与平面 ACD1 所成的角易知DD 1O 即为所求设正方体的棱长为 1，则 DD11，DO ，D 1O ，22 62cos DD1O .DD1D1O 26 63BB 1 与平面 ACD1 所成的角的余
3、弦值为 .63【答案】 D5正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且总保持 AP BD1，则动点 P 的轨迹是( )A线段 B1CB线段 BC1CBB 1 中点与 CC1 中点连成的线段DBC 中点与 B1C1 中点连成的线段【答案】 A 如图，由于 BD1平面 AB1C，故点 P 一定位于 B1C 上二、填空题6如图 237，平面 CD，EA，垂足为 A，EB ，垂足为 B，则 CD 与 AB 的位置关系是_. 图 237【解析】 EA，CD，根据直线和平面垂直的定义，则有 CDEA.同样，EB，CD，则有 EBCD.又 EAEBE，CD平面
4、AEB.又AB平面 AEB，CDAB .【答案】 CDAB7如图 238 所示，PA 平面 ABC，在ABC 中， BCAC，则图中直角三角形的个数有_图 238【解析】 Error! Error!BC平面 PAC BCPC，直角三角形有PAB、 PAC、ABC 、PBC.【答案】 4三、解答题8如图 239，四边形 ABCD 为矩形，AD 平面 ABE，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE.求证： AEBE.图 239【证明】 AD平面 ABE，ADBC，BC平面 ABE.又 AE平面 ABE，AEBC.BF平面 ACE，AE 平面 ACE，AEBF.又BF平面 BCE，BC 平面 B
5、CE，BF BCB，AE平面 BCE.又 BE平面 BCE，AEBE.9如图 2310 所示，三棱锥 ASBC 中，BSC90，ASBASC 60，SASBSC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角图 2310【解】 因为ASBASC60，SASBSC，所以ASB 与SAC 都是等边三角形因此 ABAC .如图所示，取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，则 ADBC.设 SAa，则在 RtSBC 中，BC a，CDSD a.222在 Rt ADC 中，AD a.AC2 CD222则 AD2SD 2SA 2，所以 ADSD.又 BCSDD，所以 AD平面 SBC.因此ASD 即为直线 AS
6、与平面 SBC 所成的角在 Rt ASD 中，SDAD a，22所以ASD 45，即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45.能力提升10如图 2311，四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 为正方形，SD 底面ABCD，则下列结论中正确的有_个图 2311ACSB；AB平面 SCD；SA 与平面 ABCD 所成的角是SAD；AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角【解析】 因为 SD底面 ABCD，所以 ACSD.因为 ABCD 是正方形，所以 ACBD.又 BDSDD，所以 AC平面 SBD，所以 ACSB，故正确因为 ABCD，AB 平面 SCD，CD平面 SCD，所以
7、 AB平面 SCD，故正确因为 AD 是 SA 在平面 ABCD 内的射影，所以 SA 与平面 ABCD 所成的角是SAD.故正确因为 ABCD，所以 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角，故正确【答案】 411如图 2312，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BAC90 ，ABACAA 1.图 2312(1)求证：AB 1平面 A1BC1.(2)若 D 为 B1C1 的中点，求 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值【解】 (1)证明： 由题意知四边形 AA1B1B 是正方形，AB 1BA 1.由 AA1平面 A1B1C1 得 AA1A 1C1.又A 1C1A 1B1，AA 1A 1B1A 1，A 1C1平面 AA1B1B，又AB 1平面 AA1B1B，A 1C1AB 1.又BA 1A 1C1A 1，AB 1平面 A1BC1.(2)连接 A1D.设 ABACAA 11，AA 1平面 A1B1C1，A 1DA 是 AD 与平面 A1B1C1 所成的角在等腰直角三角形 A1B1C1 中，D 为斜边 B1C1 的中点，A 1D B1C1 .12 22在 Rt A1DA 中，AD .A1D2 A1A262sin A1DA ，A1AAD 63即 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为 .63
