1、2.5 直线与圆锥曲线课时过关能力提升1.若椭圆 236+29=1的弦被点 (4,2)平分 ,则 此弦所在直 线 的斜率 为 ( )A.2 B.-2 C.13.12解析: 设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=8,y1+y2=4,又 2136+219=1,2236+229=1. -得 (1+2)(1-2)36 +(1+2)(1-2)9 =0,即 8(1-2)36 +4(1-2)9 =0,所以所求直线的斜率为 1-21-2=12.答案: D2.已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为 ( )A.32.23C. 303.326解析: 依题设弦的端点为
2、A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2,y1+y2=2,又 21+221=4,22+222=4,所 以 2122=2(2122),此弦的斜率 k=1-21-2= 1+22(1+2)=12,所以此弦所在的直线方程为 y-1=12(x1),即 y=12x+32.代入 x2+2y2=4,整理得 3x2-6x+1=0,所以 x1x2=13,所以|AB|=(1+2)2-412 1+2=4-413 1+14=303.答案: C3.已知双曲线 2222=1(a0,b0)与直 线 y=2x有交点 ,则 双曲 线 的离心率的取 值 范 围 是 ( )A.(1, 5)B.(1, 5)(5,+)C.
3、(5,+)D.5,+)解析: 双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率 k=,要使双曲 y=2x 有交点,线 2222=1和直 线只要满 ,足 2即可e2-2 2,2-12, 5.答案: C4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为 F(7,0),直 线 y=x1与双曲 线 交于 M,N两点 ,且 MN中点的横坐 标为 23,则 此双曲 线 的方程 为 ( )A.2324=1B.2423=1C.2522=1D.2225=1解析: 由 c a2+b2=7.=7,得焦点为 F(7,0),可设双曲线方程为 22 27-2=1,并设 M(x1,y1),N(x2,y2).将 y=x-1 代入并整理得(7-2a2
4、)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,x 1+x2= 227-22,由已知 a2=2,得 227-22=232,解得故双曲线的方程为 2225=1.答案: D5.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l的斜率 k 的取值范围是( )A.-12,12.2,2C.-1,1 D.-4,4解析: 由已知,得直线 l 的方程为 y=k(x+2),与抛物线方程联立方程组 ,整理得 ky2-8y+16k=0.当k=0 时, 直线与抛物线有一个交点.当 k0 时,由 =64-64k20,解得-1k 1.所以-1k1,k0.综上得-1k1.答案:
5、C6.直线 l 过抛物线 y2=ax 的焦点,并且垂直于 x 轴,若直线 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a= .解析: 抛物线 y2=ax 的焦点 l 与抛物线的两个交点坐标为 (4,0),所以直 线 是 (4,2)和 (4,-2),所 a=4.以 |2-(-2)|=4,解得答案: 47.已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的右 顶 点 为 A(1,0),过椭圆 C的焦点且垂直 长轴 的弦 长为 1,则椭圆 C的方程 为 . 解析: 由题意得 =1,22=1,=2,=1.故所求的 椭圆 方程 为 24+x2=1.答案:24+x2=18.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P
6、 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 3,那么 |PF|= . 解析: 直线 AF 的方程为 :y= 3(x2),当 x=-2 时,y= 43,A(2,43).当 y= ,代入 y2=8x 中,得 x=6,43时P(6, 43).|PF|=|PA|=6(2)=8.答案: 89.在椭圆 x2+4y2=16 中,求通过点 M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长 .分析: 题目中涉及弦的中点,既可以考虑中点坐标公式 ,又可以考虑平方差公式.解: 当直线斜率不存在时,M 不可能为弦的中点,所以可以设直线方程为 y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去 y,得(1+4
7、k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0.显然 1+4k20,=16(12k2+4k+3)0,由 x1+x2 k=162-81+42 =4,解得 12.故所求弦所在的直线方程为 x+2y-4=0.x,得 y2-2y=0,由 +2-4=0,2+42=16,消去y 1=0,y2=2.弦长 =(1+12)|y1y2|=1+4|02|=25.10.求 k 的取值范围,使直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 至多有一个公共点.分析: 将 y=kx+1 代入双曲线方程得关于 x 的方程,讨论该方程解的个数即可.解: 联立直线与双曲线方 y 得(1 -k2)x2-2kx-2=0.程 =+1,2-2=1,消去当 1-k2=0,即 k=1 时,解得 x=1;当 1-k20,即 k1 时,=4k 2+8(1-k2)=8-4k2.由 =0 得 k= 2,由 2.所以当 k= k=1 时,直线与双曲线有 1 个公共点;2或当 k(-, ,直线与双曲线无公共点.2)(2,+)时故当 k=1 或 k= k(-, ,直线与双曲线至多有一个公共点.2或 2)(2,+)时
