1、2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算【选题明细表】知识点、方法 题号基本概念 2,4,7平行向量基本定理及应用 3,6,8,9轴上向量的坐标及坐标运算 1,5综合应用 101.已知数轴上两点 M,N,且|MN|=4,若 xM=-3,则 xN等于( D )(A)1 (B)2(C)-7 (D)1 或-7解析:因为|MN|=|x N-xM|,所以|x N+3|=4,所以 xN=1 或-7,故选 D.2.下面给出三个命题:非零向量 a 与 b 共线,则 a 与 b 所在的直线平行;向量 a 与 b 共线,则存在唯一实数 ,使 a=b;若 a=b(R),则 a 与 b 共线.其中正确的命题的个数
2、是( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由于向量与位置无关,a、b 共线,可能在同一条直线上,因此不正确.若 b=0,满足 a,b(R)共线,但使 a=b 的 未必唯一,因此不正确.正确.综上所述,此题应选 B.3.已知 P,A,B,C 是平面内四个不同的点,且 + + = ,则( B )(A)A,B,C 三点共线 (B)A,B,P 三点共线(C)A,C,P 三点共线 (D)B,C,P 三点共线解析:因为 + + = = - .所以 =-2 , 所以 , 又 PA,PB 有公共点 P,所以 A,B,P 三点共线.故选 B.4.(2017河北衡水中学月考)给出下面四个结论:若线段
3、 AC=AB+BC,则向量 = + ;若向量 = + ,则线段 AC=AB+BC;若向量 与 共线,则线段 AC=AB+BC; 若向量 与 反向共线,则| - |=AB+BC. 其中正确的结论有 (填序号). 解析:中 A,B,C 三点不一定共线,所以结论错误.中 与 反向时,结 论不成立,只有正确.答案:5.已知 M,P,N 三点在数轴上,且点 P 的坐标是 5,MP=2,MN=8,则点 N的坐标为 . 解析:设点 M,N 的坐标分别为 x1,x2,因为点 P 的坐标是 5,MP=2,MN=8,所以 51=2,21=8,解得 1=3,2=11.故点 N 的坐标为 11.答案:116.a,b
4、是两个不共线的向量,且 =2a+kb, =a+3b, =2a-b.若 A,B,D 三点共线,则实数 k= . 解析: = - =a-4b.则 2a+kb=a-4b. 由 A,B,D 三点共线,设 = , 解得 =2,所以 k=-8.答案:-87.(2017宜春奉新一中月考)已知下列命题,若 ab,bc,则 ac;向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量;已知 A,B,C 是平面内任意三点,则 + + =0;四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 = .则其中正确命题的个数为( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:对命题逐一分析,当 b=0 时,a 与 c 的方向可以
5、任意,都满足条件,结论错误;a 与 b 至少一个零向量时,a 与 b 共线,结论成立;因为 + + = + =0,成立;画图知结论成立,共有 3 个正确.故选 D.8.如图,在ABCD 中, =a, =b, =3 ,M 为 BC 的中点,则 = (用 a,b 表示). 解析: = + +=- + +1234=- - + ( + )1234 =- b-a+ (a+b)12 34= b- a.14 14答案: b- a14 149.如图,平行四边形 ABCD 中,点 M 在 AB 的延长线上,且 BM= AB,点 N12在 BC 上,且 BN= BC.求证:M,N,D 三点共线.13证明:设 =e
6、1, =e2,则 = =e2. 因为 = e2, = = e1,13 1212所以 = - = e2- e1.13 12又因为 = - =e2- e1=3( e2- e1)=3 ,32 13 12 所以向量 与 共线 . 又 M 是公共点,故 M,N,D 三点共线.10.已知ABC 中,P 为其内部一点,且满足 =( + )(R),|=( + )(R),试判断点 P 的位置.|解:如图, , 分别为 , 的单位向量,长度均为 1,设 = ,| |= ,则以 , 为邻边的平行四边形 AMQN 为菱形,| 所以 AQ 平分BAC.又 =( + )(R)= ,| 所以 、 共线,则 AP 也平分BAC. 同理,根据 =( + )(R)知,BP 平分ABC,|所以 P 是ABC 三个内角的平分线的交点,则 P 是ABC 的内心.
