1、湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学 2017 届高三第一次联考理数试题第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D2. 记复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位），则复数 的模 （ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由 ，得 ， ，故选 A. 3. 在等差数列 中， ，则数列 的前 11 项和 （ ）A. 24 B. 48 C. 66 D. 132【答案】C【解析】试题分析：设等差数列 公差为 ，则 ，所以有，整理得， ，故选 C考
2、点：等差数列的定义与性质4. 已知 表示不超过实数 的最大整数， 为取整函数， 是函数的零点，则 等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 ，故 ，故选 B.来 5. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分，未击中目标得 0 分.若甲、乙两人射击的命中率分别为 和 ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 .假设甲、乙两人射击互不影响，则 值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 如下图，是一个算法流程图，当输入的 时，那么运行算法流程图输出的结果是（ ）A. 10 B. 20 C. 25 D. 35【答案】D【
3、解析】当输入的 时， ；否，输出 ，故选 D.7. 二项式 展开式中， 项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】二 项式 展开式的通项为 ，令 ，系数为 ，故选 C.8. 设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 60的直线交曲线 于 两点（ 点在第一象限， 点在第四象限）， 为坐标原点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，则与 的比为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C9. 已知 函数 的定义 域为 ，且 ，又函数 的导函数 的图象如图所示，若两个正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由导函数图象，可知函数在 上为单调增函数，正
4、数 满足 ， 又因为 表示的是可行域中的点与 的连线的斜率。所以当 与 相连时斜率最大，为 ，当 与 相连时斜率最小为 ，的取值范围是 ，故选：A.10. 已知正 内接于半径为 2 的圆 ，点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数 量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向 量的数量积来解 决列出方程组求解未知数.11. 三棱锥 及其
5、三视图中 的正视图和侧视图如图所示，则该三 棱锥 的外接球的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应 深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为 正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图 进行调整.12. 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有，则不等式
6、的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 是定义在 上的函数，所以有 ，不等式 可变形为： ，构造函数 ， ，所以 在 上单增，由 ，可得 ，故选 A.点睛：本题考查的是构造函数，利用条件构造 ，进而将不等式转化为，即 ，若函数 在区间上单调递增，则时，有 ，事实 上，若 ,则 ，这与 矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当时有 ；据此可 以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13. 函数 是奇函数，则 等于_【答案】14. 已知边长为 2 的正方形 的四个顶点在球
7、 的球面上，球 的体积为 ，则 与平面 所成的角的余弦值为_【答案】【解析】过 作 平面 ，垂足为 ，则 为正方形 的中心。正方形 的边长为 , ，,球 的半径 .与平面 所成的角的余弦值为 .15. 双曲线 的左、右焦点分别为 是 左支上一点，且 ，直线 与圆 相切，则 的离心率为_【答案】【解析】设直线 与圆 相切于点 ，则 ，取 的中点 ,连接 ，由于 ,则 ，由 ，则 ，即有 ，由双曲线的定义可得 ，即 ，即 ，,即 ， ，即 ，则 .故答案为： .16. 已知函数 ，数列 中， ，则数列的前 100 项之和 _【答案】10200【解析】因为 ，所以同理可得： ,的前 100 项之和
8、.故答案为： .点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将 分成四种情况，即将数列分 成四个一组求和即可.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设 的内角 的对边分别为 ，且满足.（1）试判断 的形状，并说明理由；（2）若 ，试求 面积的最大值.【答案】（1） ；（2） .试题解析：解法 1：（1） ，由正、余弦定理，得，化简整理得： ， ，所以 ，故 为直角三角形， 且 ；（2） ， ，当且仅当 时，上式等号成立， .故 ，即 面积的最大值为 .解法 2（1） 由已知： ，（2） 又 ， ，而 ， ， ，故 ， 为直角三角形.18. 为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学
9、生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图 如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 1：2：3，其中第 2组的频数为 12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从 全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设 表示体重超过 60 公斤的学生人数，求 的分布列和数学期望.【答案】（1） ；（2）分布列见解析 ，期望为 .【解析】试题分析：（）给出了样本的频率分布直方图，由各组频率和为 和后两组的频率可求得前三组的频率和，再结合前三组的频率比可求得第二小组的频率，再由频率公式可得样本容量；（）由第一问易知在总体中任选 人其体重超过
10、 公斤的概率，把问题 转化为一个二项分布问题，由其概率公式可求得其随机变量 取各值的概率得到其分布列和数学期望（）由（）可得：一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为，所以 X 服从二 项分布,随机变量 X 的分布列为：x 0 1 2 3p则考点：频 率分布直方图，二项分布及其数学期望【易错点晴】在频率分布直方图中各组的频率是各个小矩形的面积表示，不要误认为矩形的高就是频率，同时所有矩形的面积和为 ，这是求解各组频率的关键，频率的求解公式是，其中 是频数， 是样本容量；二项分布中的概率公式是，公式中的 和 位置不能颠倒，否则求得的概率就是错的，最后求解数学期望是可直接用 二项分布的期望公式 ，
11、来简化运算，提高解题速度和准确率19. 如图， 三棱柱 中， ，平面 平面 ， 与 相交于点 .（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2） .试题解析：（1） 证明：设 的中点为 ，连 .（2） ，四边形 为菱形，且 为正三角形， . ， .而 ， 平面 ， .四边形 为菱形，则有 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 .（2）如图， ， ，以 为原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， ， .从而，有 ， . .设面 的法向量为 ，则 ，又面 的法向量为 ，设二面角 的大小为 ，由图知 为锐角，则 .点睛：利用法向
12、量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆 上的点到右焦点 的 最小距离是 ， 到上顶点的距离为 ，点 是线段 上的一个动点.（1）求椭圆 的方程；（2）是否存在过点 且与 轴不垂直的直线 与椭圆交于 两点，使得 ？并说明理由.【答案】（1） ；（2）详见解析.试题解析：（1）由题意可知 ，且 ，解得 ，椭圆的方程为 .（2）由（1）得 ，所以 .假设存在满足题意的直线 ，设 的方程为 ，代入 ，得 ，设 ，则 ， ， . ，且
13、的方向向量为 ， ，当 时， ，即存在这样的直线 ；当 时， 不存在，即不存在这样的直线 .21. 已知函数 .（1）当 时，试求函数图像过点 的切线方程；（2）当 时，若关于 的方程 有唯一实数解，试求实数 的取值范围；（3）若函数 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围.【答案】（1） ； （2） 或 ；（3） .【解析】试题分析：对于（1），先利用导数求出切线的斜率，再写出点斜式方程；对于（2），方程 可化为： ，构造 ，通过研究 的单调性即可求出 的范围.对于（3），首先根据 有两个极值点 ，利用导数求出 的取值范围以及极值点；将恒成立转化为 恒成立，然后构建函数求出
14、的最小值即可.（2）当 时，有 ，其定义域为： ，从而方程 可化为： ，令 ，则 ，由 或 ； . 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ，又当 时， ；当 时， .关于 的方程 有唯一实数解，实数 的取值范围是： 或 .由不等式 恒成立 恒成立， ，令 ， ，当 时 恒成立，函数 在 上单调递减， ，故实数 的取 值范围是： .点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（ 1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不 等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后
15、数形结合求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为（ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 .（1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2）若 ，求实数 的值.【答案】（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）依据参 数方程、极坐标与普通方程的转 化关系，可求出直线与曲线的普通方程。（2）设出 两点的参数 ，依据题意得 出关于参数 的方程，综合 与 的关系，可求出 的值。试题解析：（1） （ 为参数），直线 的普通方程为 . ， ，由 得曲线 的直角坐标方程为 .23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .（1）若 ，解不等式 ；（2）若 有最小值，求实数 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)去掉绝对值,得到不等式计算得出即可,(2)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数 有最小值的充要条件,即可求得.试题解析：（1） 时， ，即 ，解得 ，所以解集为 .（2）因为 ，所以 有最小值的充要条件为 ，即 .
