1、阶段检测卷(六)(立体几何)时间：50 分钟 满分：100 分一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中1已知 a，b，c 是三条不同的直线，命题“ab 且 acbc”是正确的，如果把a，b，c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图 N61，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的是( )图 N61AACBDBAC截面 PQMNCACBDD异面直线 PM 与 BD 所成的角为 453如图 N62，在正方体 ABCDAB CD 中，与
2、 AD成 60角的面对角线条数是( )图 N62A4 条 B6 条 C8 条 D10 条4在如图 N63 所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2) ，给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图 N63A和 B和C和 D和5如图 N64，在四边形 ABCD 中，AD BC ，AD AB ，BCD45，BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD中，下列命题正确的是( )图 N64A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDC
3、C平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC6如图 N65，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )图 N65AACSBBAB 平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角7(2017 年广东深圳二模)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图 N66，则该几何体的体积为( )图 N66A24 B48 C72 D968(2017 年贵州贵阳二模)如图 N67，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，沿 AE，AF，EF
4、 把正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为P，P 点在AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( )图 N67AO 是AEF 的垂心BO 是AEF 的内心CO 是AEF 的外心DO 是AEF 的重心二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，把答案填在题中横线上9圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球 (如图 N68)，则球的半径是_ cm.图 N6810直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA 90 ，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则
5、 BM 与 AN 所成角的余弦值为_11(2016 年浙江)某几何体的三视图如图 N69(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm 3.图 N69三、解答题：本大题共 2 小题，共 34 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤12(14 分)(2017 年新课标 )如图 N610，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值图 N61013(20 分)(2017 年浙
6、江)如图 N611，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC 2CB，E 为 PD 的中点(1)证明：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值图 N611阶段检测卷(六)1C 解析：若 a，b，c 换成平面 ，则“ 且 ”是真命题；若 a，b 换成平面 ， ，则“ 且 cc”是真命题；若 b，c 换成平面 ，则“a 且 a”是真命题；若 a，c 换成平面 ，则“b 且 b ”是假命题2C 解析：由 PQAC，QMBD ，PQQM，可得 ACBD，故 A 正确；由PQAC，可得 AC截面 PQMN，故 B
7、正确；异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN所成的角，故 D 正确；综上所述， C 是错误的故选 C.3C4D 解析：如图 D196，在空间直角坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为，俯视图为.图 D1965D 解析：在平面图形中 CDBD，折起后仍有 CDBD ，由于平面 ABD平面BCD，故 CD平面 ABD，CDAB.又 ABAD，故 AB 平面 ADC.所以平面 ABC平面ADC.6D7B 解析：还原出空间几何体，如图 D197.该平面将长方体刚好平分，所以该几何体的体积 V V 长方体 44648.故选 B.12 12图 D1978A 解析
8、：如图 D198，由题意可知 PA，PE，PF 两两垂直，所以 PA平面 PEF，从而 PAEF.而 PO平面 AEF，则 POEF.因为 POPAP，所以 EF平面 PAO.所以 EFAO .同理可知 AEFO，AFEO .所以 O 为AEF 的垂心图 D19894 解析：设球的半径为 r cm，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为 6r cm.则有r26r 8r2 3 r3.即 2r8. r4.4310. 解析：方法一，如图 D199，取 BC 的中点 Q，连接 QN，AQ ，易知3010BMQN，则ANQ 即为所求设 BCCACC 12，则 AQ ，AN ，QN .cos 5 5 6ANQ
9、 .AN2 NQ2 AQ22ANNQ 5 6 52 56 6230 3010图 D199 图 D200方法二，以 C1为坐标原点，建立如图 D200 所示的空间直角坐标系，设BCCACC 12，则 A(2,0,2)，N(1，0,0)，M (1,1,0)，B (0,2,2)A (1,0，2) ，N (1 ，1， 2)cos A ， .BM N BM AN BM |AN |BM | 1 456 330 30101172 32 解析：几何体为两个相同长方体组合而成，长方体的长、宽、高分别为4,2,2，所以体积为 2(224)32，由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形，所以表面积为 2(2
10、22 244)2(22) 72.12(1)证明：由题设可得， ABDCBD，从而 ADDC.又ACD 是直角三角形，所以ADC90.取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC，DOAO.又由于ABC 是正三角形，故 BOAC .所以 DOB 为二面角 DACB 的平面角在 RtAOB 中，BO 2AO 2AB 2.又 ABBD ，所以 BO2DO 2BO 2AO 2AB 2BD 2，故 DOB90.所以平面 ACD平面 ABC.图 D201(2)解：由题设及(1) 知，OA，OB，OD 两两垂直，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴OA 正方向，| |为单位长，建立如图 D201
11、所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 A(1,0,0)，OA B(0， ， 0)，C (1,0,0) ，D(0,0,1)3由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距12离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 E .12 (0，32，12)故 ( 1,0,1)， (2,0,0)， .AD AC AE ( 1，32，12)设 n(x，y，z )是平面 DAE 的法向量，则Error! 即Error!可取 n .(1，33，1)设 m 是平面 AEC 的法向量，则Error!同理可取 m(0，1， )3则 cosn，m
12、.nm|n|m| nm|n|m| 77所以二面角 DAEC 的余弦值为 .7713(1)证明：如图 D202，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD，且 EF AD.12又因为 BCAD，BC AD，12所以 EFBC，且 EFBC.即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF.所以 CE平面 PAB.图 D202(2)如图，分别取 BC，AD 的中点为 M，N .连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F ，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点在平行四边形 BCEF 中，MQCE.由PAD 为等腰直角三角形，得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中点，得 BNAD.所以 AD平面 PBN.由 BCAD，得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1.在PCD 中，由 PC2，CD1，PD ，得 CE ，2 2在PBN 中，由 PNBN1，PB ，得 QH ，314在 RtMQH 中，QH ，MQ .14 2所以 sinQMH .28所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 .28
