1、单元质检六 数列(时间:120 分钟 满分:150 分)单元质检卷第 11 页 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若 Sn 为等比数列a n的前 n 项和,8a 2+a5=0,则 =( )52A.11 B.5 C.-8 D.-11答案 D解析 设等比数列a n的公比为 q, 8a2+a5=0, 8a2+a2q3=0,解得 q=-2,代入所求式可知 =-11.522.(2017 课标 高考)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 :“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座
2、7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )A.1 盏 B.3 盏C.5 盏 D.9 盏答案 B解析 设塔的顶层共有灯 x 盏,则各层的灯数构成一个首项为 x,公比为 2 的等比数列,结合等比数列的求和公式有 =381,解得 x=3,即塔的顶层共有灯 3 盏.故选 B.(1-27)1-23.在下面的图案中,图(1)是边长为 1 的正方形,图(2)是将图(1)的正方形向外作直角三角形和正方形,按此分形规律,若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列a n,则 a10=( )A.9 B.10C.11 D.12答案 B解析 如图,由条件可知,a
3、 1=1,a2=1+BC2+AC2=1+AB2=2,同理 a3=1+1+1=3.故有 a10=10.4.(2018 浙江绍兴柯桥期末)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,则“a 10”是“S 3S2”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 因为当 a10 时,有 S3-S2=a3=a1q20,所以是充分必要条件.故选 C.5.设数列a n满足:a 1=1,a2=3,且 2nan=(n-1) +(n+1) ,则 a20 的值是( )-1 +1A B C D.215 .225 .235 .245答案 D解析 由 2nan=(n-1
4、)an-1+(n+1)an+1 得 nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,又因为 1a1=1,2a2-1a1=5,所以数列na n是首项为 1,公差为 5 的等差数列,则 20a20=1+195,解得 a20= 故选 D.245.6.(2018 浙江温州六校协作体期末 )设数列a n是公比为实数 q 的等比数列,首项 a1=64,对于nN *,an= ,当且仅当 n=4 时,数列b n的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围是( )2A B.(36,13) .(14,13)C D.(14, 24) .(26, 24)答案 C解析 因为 q= ,所以数列 bn是等差数列,由
5、题意可知 解得-20,5=6+40,且 a7|a6|,则( )A.S11+S120C.S11S120答案 C解析 由题意可知 a6+a70,所以 S11=11a60,因此一定有结论 S11S120,a8+a90 的最大 n 是 ;数列 n(10,a8+a90,而 S16= =8(a8+a9)(1+15)152 =28152 (1+16)162 =(8+9)1620 的最大 n 为 15. a80,a90. B-2n-1. nN *, B-3. B 的取值范围为( -3,+).17.设 Sn 为数列a n的前 n 项和,S n=(-1)nan- ,nN *,则 S1+S2+S3+S100= .
6、12答案13(12100-1)解析 当 n=1 时,a 1=-a1- ,解得 a1=- ;当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(-1)nan- -(-1)n-1an-1+ ,12 14 12 12-1即 an=(-1)nan+(-1)nan-1+ 若 n 为偶数,则 an-1=- ,故 an=- (n 为奇数);若 n 为奇数,则 an-1=-12. 12 12+12an+ =(-2) ,故 an= (n 是偶数).因为 a1=- -a1= ,a2=- ,所以-a 1+a2=2 ,同12 (- 12+1)+12=12-1 12 14 14 123 122理可得-a 3+a4=2 ,-a5+a
7、6=2 ,-a99+a100=2 ,所以 S1+S2+S100=2124 126 12100=2 ,应填(14+116+12100)(12+14+12100) 14(1-1450)1-1412(1-12100)1-12=13(12100-1) 13(12100-1).三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14 分)(2018 全国 高考)等比数列a n中,a 1=1,a5=4a3.(1)求a n的通项公式;(2)记 Sn 为a n的前 n 项和,若 Sm=63,求 m.解 (1)设a n的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q
8、4=4q2,解得 q=0(舍去 ),q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1 或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn=1-(-2)3 .由 Sm=63 得(- 2)m=-188,此方程没有正整数解.若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上,m=6.19.(15 分) 已知在递增的等差数列a n中,a 1=2,a3 是 a1 和 a9 的等比中项.(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn= ,Sn 为数列b n的前 n 项和,是否存在实数 m,使得 Sn0.由题意得 所以 3q2-5q-2=0.1+1=3,12-1
9、=2,因为 q0,所以 q=2,x1=1.因此数列x n的通项公式为 xn=2n-1.(2)过点 P1,P2,P3,Pn+1 向 x 轴作垂线 ,垂足分别为 Q1,Q2,Q3,Qn+1,由(1)得 xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1.记梯形 PnPn+1Qn+1Qn 的面积为 bn.由题意 bn= 2n-1=(2n+1)2n-2,(+1)2 所以 Tn=b1+b2+b3+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2, 又 2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1, - ,得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1
10、)2n-1= -(2n+1)2n-1.32+2(1-2-1)1-2所以 Tn=(2-1)2+12 .21.(15 分) 已知数列 an是单调递增数列,且 a10,若 =4Sn-2an+3,nN *,其中 Sn 为 an的前 n 项和.2(1)求数列a n的通项公式;(2)若使不等式 1+ ,对 n4,nN *恒成立,求正数 p 的取值范围.+-8-8 +8(2)-1解 (1)当 n2,nN *时,a n=Sn-Sn-1,由 4Sn= +2an-3,nN *,可得 4Sn-1= +2an-1-3,nN *,两式相减得 4an= +2an- -2an-2 2-1 2 2-11,nN *,=2an+
11、2an-1,nN *,22-1化为(a n-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1),nN *, 数列a n是单调递增数列,且 a10, an+an-10. an-an-1=2.=4S1-2a1+3,且 a10, a1=3.21 数列a n是首项为 3,公差为 2 的等差数列,a n=2n+1.(2)由(1)得不等式 1+ ,+-8-8 +8(2)-1可化为 ,p0,即 (n4).22-7+82 2+82-72令 f(n)= ,则 f(n+1)-f(n)= , f(4)n,+ + ,|2|2=(|2-|+1|2+1)+(|+1|2+1-|+2|2+2) (|-1|2-1-|2)12+12+1 12-1n,均有|a n|2,取正整数 m0lo ,且 m0n0,则034|0|-220=| |-2,与 式矛盾.20(34)020(34)34|0|-220 0综上,对于任意 nN *,均有|a n|2.
