1、第二章检测(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“对于任意角 ,cos4-sin4=cos 2”的证明过程为“cos 4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”,其中应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证法答案: B2.如果 f(n) N +),那么 f(n+1)-f(n)等于( )= 1+1+ 1+2+ 1+3+12(A. 12+1. 12+2C. 12+1+ 12+2. 12+1 12+
2、2解析: f(n+1)-f(n)= 1(+1)+1+ 1(+1)+2+12+ 12+1+ 12(+1)()=( 1+2+ 1+3+12+ 12+1+ 12+2)( 1+1+ 1+2+12)= 12+1+12+2 1+1= 12+1 12+2.答案: D3.如图为某旅游区各景点的分布图,图中一条带箭头的线段表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从 A 到 H 不同的旅游路线的条数 ,这个数是( )A.15 B.16 C.17 D.18解析: 如果一条一条地去数,由于道路错综复杂 ,哪些已经算过,哪些没有算过就搞不清楚了,所以我们换一种思路,用分析法试试.要到 H 点,需从 F,E,G 点走过来
3、 ,F,E,G 各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推,最后归结到 A 点,然后再反推过去得到如下的计算法:A 到B,C,D 的路线条数记在 B,C,D 圆圈内,B,C,D 分别到 F,E,G 的路线条数亦记在 F,E,G 圆圈内,最后 F,E,G 内的路线条数之和即为从 A 到 H 的路线的总条数 ,如下图所示.答案: C4.设数列a n满足 an+1=2+1,=1,2,3,1=2,通 过 求 1,2,3猜想 的一个通 项 公式 为 ( )A.n+1 B.n C.n+2 D.n-1解析: 由 a1=2 可求得 a2=3,a3=4,从而可猜想 an=n+1.答案: A5.下列推理是归纳推理的是(
4、 )A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|= 2a|AB|,得 P 的轨迹为椭圆B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜出数列的前 n 项和 Sn 的表达式C.由圆 x2+y2=r2 的面积 r2 猜出椭圆 22+22=1(0)的面 积 =D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案: B6.已知函数 f(x)=ax2+3ax+1,若 f(x)f(x)对一切 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.a 0f(x),即 ax2+3ax+12ax+3a,所以 ax2+ax+1-3a0 对一切 x 恒成立.故 =0,1-30或 0,bc,且 a+b+c=0,求证:
5、2-0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)bc,且 a+b+c=0,所以 3c0,c0,只需证(a-c)(2a+c)0,只需证 2a+c0(a0,c0),只需证 a+c+(-b-c)0,即证 a-b0,显然成立,故选 A.答案: A10.四个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号座位上(如图) .第 1 次前后排动物互换座位,第 2 次左右列动物互换座位这样交替进行下去,那么第 2 005 次互换座位后,小兔的座位号是( )1 鼠 2 猴3 兔 4 猫开始1 兔 2 猫3 鼠 4 猴第一次1 猫 2 兔3 猴 4 鼠第二次1 猴 2 鼠3 猫 4
6、 兔第三次A.1 B.2 C.3 D.4解析: 由题意知第 1 次互换座位后与第 5 次互换座位后排列顺序一样,所以第 2 005 次互换座位后小兔在 1 号座位上.答案: A二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.观察 1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,猜想一般规律是 . 答案: 1+3+5+(2n-1)=n212.对于定义在数集 R 上的函数 f(x),如果存在实数 x0,使 f(x0)=x0,那么 x0 叫做函数 f(x)的一个不动点.已知 f(x)=x2+2ax+1 不存在不动点 ,则 a 的取值范围是 .
7、解析: 由题意,知 x2+2ax+1=x 无解,即 x2+(2a-1)x+1=0 无解,所以 =(2a-1)2-40,y0,a=x+y,b =22,则 与 的大小关系 为 . 解析: x 0,y0,xb15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,第 n 个三角形数 3),以下列出了部分 k 边形数中第为 (+1)2 =122+12.记 第 个 边 形数 为 (,)(n 个数的表达式:三角形数 N(n,3)=122+12,正方形数 N(n,4)=n2,五边形数 N(n,5)=32212,六边形数 N(n,6)=2n2-n, 可以推测 N(n,k)的表达式,
8、由此计算 N(10,24)= . 解析: 由题中数据可猜想:含 n2 项的系数为首项 ,含 n 项的系数为首是 12,公差是 12的等差数列项 ,因此 N(n,k)是 12,公差是 12的等差数列N(10,24)=11n2-10n=11102-=12+(-3)122+12+(-3)(-12)=-222+4-2.故1010=1 000.答案: 1 000三、解答题(本大题共 3 个小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 先解答(1),再通过结构类比解答(2).(1)求证:ta(+4)=1+1-;(2)设 xR,a 为非零常数,且 f(x+a)=1+()1-
9、(),试问 :()是周期函数 吗 ?请证 明你的 结论 .(1)证明 ta ta(+4)=+41-4=1+1-,即(+4)=1+1-.(2)解: 猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.证明过程如下:f(x+2a)=f (x+a)+a=1+(+)1-(+)=1+1+()1-()1-1+()1-() =1(),f(x+4a)=f (x+2a)+2a= 1(+2)=().f(x)是以 4a 为周期的周期函数.故 f(x)是周期函数,其中一个周期为 4a.17.(8 分) 数列a n满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN +.(1)证明:数列 是等差数列 ;(2)设 bn
10、=3n ,求数列 的前 项 和 .(1)证明 由已知可得 +1+1=+1,即 +1+1=1.所以数 ,1 为公差的等差数列.列 是以 11=1为 首 项(2)解: 由(1) 1=n,所以 an=n2.得 =1+(1)从而 bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n, 3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1. -,得- 2Sn=31+32+3n-n3n+13n+1=3(1-3)1-3 =(1-2)3+1-32 ,所以 Sn=(2-1)3+1+34 .18.(9 分) 设函数 f(x)=ax Z ),曲线 y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为 y=3.+ 1+(,(1
11、)求 f(x)的解析式 ;(2)证明:函数 y=f(x)的图象是一个中心对称图形 ,并求其对称中心;(3)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解: f(x)=a 1(+)2,于是 2+12+=3,- 1(2+)2=0.解得 =1,=-1或 =94,=-83.因为 a,bZ,所 .以 =1,=-1满 足 题 意所以 f(x)=x+ 1-1.(2)证明 已知函数 y1=x,y2 ,=1都是奇函数所以函数 g(x)=x ,其图象是以原点为中心的中心对称图形,+1也是奇函数而由 f(x)=x-1 ,函数 g(x)的图象向
12、右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个+ 1-1+1可知单位长度即得到函数 f(x)的图象.故函数 f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明 在曲线 y=f(x)上任取一点 (0,0+ 10-1).由 f(x0)=1 ,过此点的切线方程为 y 1(0-1)2知 20-0+10-1 =1- 1(0-1)2(0).令 x=1,得 y x=1 的交点=0+10-1,切 线 与直 线 为 (1,0+10-1).令 x=y,得 y=2x0-1,切线与直线 y=x 的交点为(2 x0-1,2x0-1).由于直线 x=1 与直线 y=x 的交点为 (1,1),从而它们所围成的三角形的面积为2.12|0+10-1-1|2011|=12| 20-1|202|=2,所以所 围 成的三角形的面 积为 定 值
