1、2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式【选题明细表】知识点、方法 题号向量数量积的坐标运算 2,7有关向量共线与垂直问题 4,5,6,8向量的长度和夹角问题 1,3,9向量数量积的综合应用 10,111.向量 a=(2,-4),与 b=(-1,2)的夹角的大小为( D )(A)零角 (B)直角 (C)钝角 (D)平角解析:ab=2(-1)+(-4)2=-10,|a|= =2 ,|b|= ,cos 4+16 5 5= =-1,故=180.10255故选 D.2.已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 ab=1,则 x 等于( D )(A)-1 (B)- (C) (D)112 12解析
2、:因为 ab=2-x=1,所以 x=1.故选 D.3.设 xR,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 ab,则|a+b|等于( B )(A) (B) (C)2 (D)105 10 5解析:因为 ab,所以有 x-2=0,解得 x=2,所以 a=(2,1),所以 a+b=(3,-1),|a+b|= .10故选 B.4.设 m,n 是两个非零向量,且 m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与mn 等价的个数是( D )mn=0,x 1x2=-y1y2,|m+n|=|m-n|,|m+n|= .2+2(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由两非零向量垂直的条件可知正确,由模的
3、计算公式与向量垂直的条件可知,正确,故选 D.5.已知向量 a=(1,3),b=(sin ,cos ),ab, 则 tan 的值为( B )(A)3 (B)-3 (C) (D)-13 13解析:因为 ab,所以 sin +3cos =0,所以 sin =-3cos ,所以 tan =-3.选 B.6.已知 a=(1,-1),b=(-2,1),c=a+b,d=a-b,且 cd,则实数 = .解析:因为 c=a+b=(1,-1)+(-2,1)=(-2,-+1),d=a-b=(1,-1)-(-2,1)=(1+2,-1-)又因为 cd,所以 cd=0,即(-2)(1+2)+(-1)(+1)=0,所以
4、2-1=0,解得 = .152答案:1527.在四边形 ABCD 中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( C ) (A) (B)2 (C)5 (D)105 5解析:因为 =(1,2)(-4,2)=1(-4)+22=0, 所以 ,且| |= = , 12+22 5| |= =2 , (4)2+22 5所以 S 四边形 ABCD= | | |= 2 =5.故选 C.12 12 5 58.(2017长春外国语学校月考)设 x,yR,向量 a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且 ac,bc,则|a+b|等于( B )(A) (B) (C)2 (D)105 10 5解
5、析:因为 ac,所以 ac=2x-4=0,所以 x=2,又 bc,所以 2y=-4,所以 y=-2,所以 a=(2,1),b=(1,-2),所以 a+b=(3,-1),所以|a+b|= = .选 B.32+(1)2 109.已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为 . 解析:由 a=(1,0),b=(1,1),得 b-3a=(-2,1).设向量 b-3a 与向量 a 的夹角为 ,则 cos = = =- .(3)|3| (2,1)(1,0)51 255答案:-25510.(2017诸城一中高一下期中)已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中
6、a=(1,2).(1)若|c|=2 ,且 ca, 求 c 的坐标;5(2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 .52解:(1)设 c=(x,y),由|c|=2 得, =2 ,即 x2+y2=20,5 2+2 5因为 ca,a=(1,2),所以 2x-y=0,所以 y=2x,由 =2,2+2=20,所以 或=2,=4, =2,=4,所以 c=(2,4)或 c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)(2a-b),所以(a+2b)(2a-b)=0,所以(a+2b)(2a-b)=2|a| 2+3ab-2|b|2=0,(*)将|a| 2=5,|b|2=( )2= 代入
7、(*)中,52 54所以 25+3ab-2 =0,54所以 ab=- ,52因为|a|= ,|b|= ,552所以 cos = = =-1,|525 52因为 0,所以 =.11.已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系可以用 v=f(u) 表示.(1)证明对于任意 a,b 及常数 m,n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)及 f(b)的坐标;(3)求使 f(c)=(p,q)(p、q 为常数)的向量 c 的坐标.解:(1)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以 f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),所以 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=f(1,1)=(1,21-1)=(1,1),f(b)=f(1,0)=(0,20-1)=(0,-1).(3)设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以 y=p,2y-x=q,所以 x=2p-q,故向量 c=(2p-q,p).
