1、 2019 年高考数学讲练测【新课标版】 【讲】第三章 导数第 02 节 导数在研究函数中的应用【考纲解读】考 点考纲内容 5 年统计 分析预测1.导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2014新课标 I.11， 21; II. 8,21; 2015新课标 I. II.12,21;2016新课标 I. 7，21;II.16,21;III.
2、15,21;2017新课标 I.21；II. III.11,21.2018新课标 I.20，21；II.21； III.7,21.2.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.2018新课标 I.20（与概率统计结合）.1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.4.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、
3、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1利用导数研究函数的单调性在 (,)ab内可导函数 ()fx， f在 (,)ab任意子区间内都不恒等于 0.()0()fxfx在 ,ab上为增函数在 上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb
4、 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【重点难点突破】考点 1 确定函数的单调性或求函数的单调区间【1-1】已知函数 )(xf与 f的图象如下图所示，则函数 xefg)(的递减区间为（ ）A )4,0
5、( B )1,0(， ),4 C )34,0( D )1,(，3【答案】B【解析】 xxx efeffgefg 2,由图可知,当 0x时, xf,即xf在 0,单调递增；当 340时, 0f,即 f在 34,0单调递减；当 34时, 0f,即xf在 ,34单调递增.而 xf和 f的交点为 4,10x,所以,在 1,0和 ,4时,ff,即 0xg,故选 B.【1-2】 【2016 北京理数】设函数 ()axfeb，曲线 ()yfx在点 2,()f处的切线方程为(1)4yex，（1）求 a， b的值；（2）求 ()f的单调区间.【答案】 （） 2， e；（2） )(xf的单调递增区间为 (,).由
6、 )1()(12xxef 即 02x知， )(xf与 1xe同号.令 g，则 1(eg.所以，当 ),(x时， )x， )(在区间 ),(上单调递减；当 ,1时， 0， 在区间 ,1上单调递增.故 )(g是 )(x在区间 ),(上的最小值，从而 ,0.综上可知， )(xf， ),(，故 )(xf的单调递增区间为 ),(.【领悟技法】1.导数法证明函数 ()f在 ,ab内的单调性的步骤(1)求 ()fx；(2)确认 在 ,)ab内的符号；(3)作出结论： (0f时为增函数； ()0fx时为减函数2.求函数的单调区间方法一：确定函数 y的定义域；求导数 ()yfx；解不等式 0，解集在定义域内的部
7、分为单调递增区间；解不等式 ()f，解集在定义域内的部分为单调递减区间3.求函数的单调区间方法二：确定函数 ()yfx的定义域；求导数 ()yfx，令 f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数 的间断点(即 ()fx的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 )f的定义区间分成若干个小区间；确定 ()fx在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性【触类旁通】【变式一】函数 的单调增区间为_()=【答案】 (0,1)【变式二】已知函数 23()1(0),(fxagxb.(1)若曲线 y与曲线 y在它们的交点(1，c)处具有公
8、共切线，求 a， b 的值；(2)当 24ab时，求函数 ()f的单调区间【答案】 （1） 3. （2）单调递增区间是 ,26a单调递减区间为 ,)26( .【解析】(1)f(x)2ax，g(x)3x 2b，由已知可得(1)23facg解得 3. 考点 2 已知函数的单调性求参数的范围【2-1】 【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知函数 （ ）在()=(21)+230上为增函数，则 的取值范围是（ ）(0,+) A. B. C. D. 2,+)32,+) (,2 (,32【答案】A【解析】由题函数 为增函数，则()=(21)+23(0)在 上恒成立，则()=2+(21)+2=(2
9、+1)+20 (0,+)，设 则(2+1)2 ()=(2+1)2 ,(0),()=2+(2+1)(2)(2+1)2(2)2 =(22+1)22令 得到 ，可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则()0012 () (0,12) (12,+)， 即 的取值范围是 ，()=(12)=(212+1)12212 =212 2,+)选 A【2-2】 【2018 届福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三上学期三校联考】已知函数在 上单调递增,则实数 的取值范围是_.2lnfxax1ea【答案】 由恒成立的条件有： .12,a综上可得：实数 的取值范围是 .2【领悟技法】已知函数单调性，求参数范围的两个
10、方法：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解【触类旁通】【变式一】 【2018 届江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校联考】已知函数在 上单调递减，则 的取值范围是_321fxax,a【答案】 ,【解析】 ，321fxax 2f又函数 在 上单调递减，x1, 在
11、 上恒成立，2230fa1, ，即 ，2 1f230 a解得 或 3a实数 的取值范围是 ,3,答案： ,【变式二】已知函数 ()ln(1)2exff， 32()()xagf（其中 aR）.（1）求 ()fx的单调区间；（2）若函数 g在区间 ,)上为增函数，求 a的取值范围；【答案】 （1）单调增区间为 (02，单调减区间为 (2,).（2） 3a.（2） 2()lnaexgx，则21()2axag，由题意可知20xa在,上恒成立，即 20在 ,上恒成立，因函数 2()ux开口向上，且对称轴为 14x，故 ()ux在 2,)上单调递增，因此只需使 (2)0u，解得 3a；易知当 3a时， 0
12、g且不恒为 0. 故 .考点 3 应用导数研究函数的极（最）值问题【3-1】 【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 ，则 的最小值是_【答案】详解： ，所以当 时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ，函数的增区间为，所以当 时，函数 取得最小值，此时 ，所以 ，故答案是 .【3-2】 【2018 届华大新高考联盟 4 月检测】若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围()=2+ 是_【答案】120详解： 令 由于函数（ ） =+2（ 0）， （ ） =+1+2 （ ） =+1+2，函数 有两个极值点点 在区间 上有两个实数根()=2+ （ ） =0 （ 0， +）（ ） =
13、1+2=1+2 ，当 时， ，则函数 在区间 单调递增，因此 在区间0 （ ） 0 （ ） （ 0， +） （ ） =0上不可能有两个实数根，应舍去（ 0， +）当 时，令 ，解得 ，0 （ ） =0=12令 ，解得 ，此时函数 单调递增；（ ） 00 12 （ ）令 ，解得 ，此时函数 单调递减（ ） 0 12 （ ）当 时，函数 取得极大值要使 在区间 上有两个实数根，=12 （ ） （ ） =0 （ 0， +）则 ，解得 （ 12） =(12) 0， 120实数 的取值范围是（ .120【3-3】 【2017 北京，理 19】已知函数 ()ecosxf（）求曲线 ()yfx在点 ,处的切
14、线方程；（）求函数 在区间 0,2上的最大值和最小值【答案】() 1y；（）最大值 1；最小值 2.【解析】所以函数 ()fx在区间0,2上单调递减.因此 ()f在区间,上的最大值为 (0)1f，最小值为()2f.【领悟技法】1.求函数 f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0处取极小值2. 求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内
15、的极值；(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；(3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【触类旁通】【变式一】 【2017 课标 II，理 11】若 2x是函数 21()xfxae的极值点，则 ()fx的极小值为（ ）A. 1 B. 3e C. 35 D.1【答案】A【解析】【变式二】 【2019 届四川省成都市摸底测试】若函数 在 内有且仅有一个极值()=(2+3) (0,+)点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (,22 (,22) (,3 (,3)【答案】C【解析】分析：对函数 求导，根据函数 在 内
16、有且只有一个极值点，则 ，求出实数() ()(0,+) (0)0的范围。详解： ，因为函数 在 内有且只有一个极值点，所以 ，()=2+(+2)+3+ ()(0,+) (0)0，又当 时， ，令 ，满足题意。所以 ，选 C.3+0,3 =3 ()=(2) ()=0,=1 3【变式三】已知函数 1xfxaxae,若 0是 fx的一个极大值点,则实数 a的取值范围为 【答案】 ,2【易错试题常警惕】易错典例：已知函数 f(x)(xk)e x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值易错分析：解答本题时，易于忽视对 k1 不同取值情况的讨论，而错误得到 f(x)在区间0
17、,1上的最小值为 f(k-1)正确解析： (1)f(x)(xk1)e x.令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的情况如下：x (，k1) k1 (k1，)f(x) 0 f(x) 1ke 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1) 1e ；当 k11 时，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上单调递减
18、，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.温馨提醒：1求函数极值时，易于误把导数为 0 的点作为极值点；极值点的导数也不一定为 0.2极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念【学科素养提升之思想方法篇】化整为零，积零为整分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要
19、根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”2.分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【典例】 【2018 年北京卷理】设函数 = ()2(4+1)+4+3（1）若曲线 在点（1， ）处的切线与 轴平行，求 ；=() (1) （2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围()=2 【答案】(1) 1 (2)（ ， ）12 +【解析】分析：（1）先求导数，再根据 得 a；（2）先求导数的零点： ， 2；再分类讨论，根据(1)=01是否满足 在 x=2 处取得极小值，进行取舍，最后可得 a 的取值范围()（）由（）得 f （ x）= ax2（2 a+1） x+2e x=（ ax1）( x2)ex
