1、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法考向一 等差、等比数列的综合应用解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解典例 1 已知数列 的各项均为整数， ， ，前
2、12 项依次成等差数列，从第 11 项起依次na82a134成等比数列，则 15A8 B16C64 D128【答案】B【解析】设由前 12 项构成的等差数列的公差为 ，从第 11 项起构成的等比数列的公比为 ，d q由 ，解得 或 ，又数列 的各项均为整数，故 ，所以221343da134na1d，所以 ，故 .132aq1023na， 4156a故选 B【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用等差数列、等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值.典例 2 已知等差数列 中， .na124,16a（1）设 ，求证：数列 是等比数列；na
3、bb（2）求 的前 项和.n【答案】 （1）见解析；（2） .321427nn（2）因为 的前 项和为 ，na1312na的前 项和为 ，nb313214487nnnbq故 的前 项和为 .nab321427nn【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时， （1）设 的公差为 ，由题意求得 ，即可求得数列的通项公式，进而得到数列 的nad3d nb通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得 的前 项和和 的前 项和，nan即可
4、得到数列 的前 项和.nb1已知公差不为零的等差数列 和等比数列 满足： ，且 成等比数列.nanb1243,aba143,（1）求数列 和 的通项公式；nab（2）令 ，求数列 的前 项和 .ncncnS考向二 数列与函数、不等式等的综合应用1数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列解决数列与函数综合问题的注意点：（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题（3）利用函数的
5、方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化2数列与不等式的综合问题是高考考查的热点考查方式主要有三种：（1）判断数列问题中的一些不等关系；（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式典例 3 已知数列 满足 = 1+2+3+1+()（1）求证：数列 是等比数列;1（2）若 恒成立,求实数 的取值范围(1)() （2）由（1）知 ，所以 ，1=12
6、(1)=2令 ，则 = ，()=2 (+1)()+12+12=+12+1所以当 时 , ,故 为减函数 .2 (+1)()9 0 =9 =0故当 或 时， 取得最大值，为 .=8 =9 8714()822已知数列 为等比数列，数列 为等差数列，且 ， ， .nanb1ba212a36b（1）求数列 ， 的通项公式；n（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .21ncbncnT153nT考向三 等差、等比数列的实际应用1数列实际应用中的常见模型等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 ， 是公差；c等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 ， 是公比；q递推数列模型：题目中给出的前后两
7、项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式2解答数列实际应用题的步骤审题：仔细阅读题干，认真理解题意；建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；求解：求出该问题的数学解；还原：将所求结果还原到实际问题中在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；从一般入手，找到递推关系，再进行求解典例 5 某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每年比上一年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年的纯利润( f(n)=前 n 年的总收入 -前 n 年的总支
8、出 -投资额).（1）从第几年开始获得纯利润?（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：年平均利润最大时,以 48 万美元出售该厂；纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂.问哪种方案较合算?【解析】由题意,知每年的经费构成了以 12 为首项,4 为公差的等差数列,则 f(n)=50n-12n+ 4-72=-2n2+40n-72.12n（1）获得纯利润就是要求 f(n)0,即 -2n2+40n-720,解得 21，且 a3+a4+a5=28， a4+2 是 a3， a5的等差中项数列 bn满足 b1=1，数列（ bn+1bn） an的前 n 项和为 2n2+n（1）求
9、q 的值；（2）求数列 bn的通项公式3 （2018 江苏）设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列na1anb1b（1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围；10,2bq1|nb,234（2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，*,(maNdR1|nab2,31m并求 的取值范围（用 表示） d1,bq4 （2018 天津文科）设 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（ nN *） ； bn是等比数列，公比大于 0，其前n 项和为 Tn（ nN *） 已知 b1=1， b3=b2+2， b4=a3+a5， b5=a4+2a6（1）求 Sn和 Tn；
10、（2）若 Sn+（ T1+T2+Tn）= an+4bn，求正整数 n 的值5（2017 新课标全国文科）记 Sn为等比数列 的前 n 项和，已知 S2=2， S3=6a（1）求 的通项公式；na（2）求 Sn，并判断 Sn+1， Sn， Sn+2是否成等差数列6（2017 北京文科）已知等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=1， a2+a4=10， b2b4=a5nan（1）求 的通项公式；na（2）求和： 13521nbb7（2017 新课标全国文科）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，nanSnbnT 12,aba（1）若 ，求 的通项公式；35nb（2）若 ，求 T
11、3S8（2017 山东文科）已知 是各项均为正数的等比数列，且 na121236,aa（1）求数列 的通项公式；n（2） 为各项非零的等差数列，其前 n 项和 Sn，已知 ，求数列 的前 n 项和 nb 211nnbnbaT变式拓展1【答案】 （1） ; ；（2） .21na3nb23nnS【解析】 （1）设 的公差为 ，d则由已知得 ，即 ，解之得： 或 （舍） ，234a231d2d0所以 ；nn因为 ，249ba所以 的公比 ，n3q所以 .【名师点睛】一般地，如果数列 an是等差数列，数列 bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法进行求和，一般是和式两边同乘以
12、等比数列 bn的公比，然后作差求解求解本题时，（1）由题意可得等差数列的公差 ，则 ；等比数列 的公比 ，2d321nn3q.（2）由（1）可知 ，错位相减可得前 n 项和 .3nb13nc23nS2【答案】 （1） ；（2） .1,nab153nT【解析】 （1）设数列 的公比为 ，数列 的公差为 ，nqnbd由题意得 ， ，解得 ，dq216d2q所以 .12,nab（2）因为 ，2nc113423nn所以1 1453712nT n ，1114323423nn因为 ，0所以 ，13nT又因为 在 上单调递增，n,所以当 时， 取最小值 ，1nT15所以 .53n【名师点睛】裂项相消法是最难
13、把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是熟悉式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1） ；（2） ； 1nknk1nknk（3） ；（4） .此211212nn外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3 【答案】(1) ；（2） .fn37n03（2） f（ n+1） f（ n）= 2（ n+1）7 2 n7= 4，13()2n3()23()2n当 n3 时， f（ n+1） f（ n）0，故当 n3 时， f（ n）递减；当 n4 时， f（ n+1） f（ n）0，故当 n4 时， f（ n）递增又 f（1）= 0， f（7）=
14、 5 21= 0， f（8）= 232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利.4 【答案】 （1） ；（2） ；（3）存在正整数7na61nCm11， n1； m2， n3； m6， n11 使得 b2， bm， bn成等差数列.【解析】 （1）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，即d22543aa，因为 ，4343daa0所以 ，即 ，0125又由 得 ，解得 ， ，651d12d所以 的通项公式为 .na7na（2） .C【名师点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求数列的通项公式,考查两个数的最小公倍数,考查存在性问题的求解方法.对于题目已
15、知数列为等差数列的题目,要求通项公式或者前 项和公式,可以考虑将n已知条件转化为关于 的等式,列方程组来求解,当已知条件为等比数列时,则转化为 的等式来1ad 1,aq求解.5 【答案】 （1） ， ；（2）见解析.1nadn1nbq【解析】 （1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，nnq依题意有 ，解得 ，24036dq214q又 ，0nb ，2q于是 ， .1nadn12nbq（2）易知 ,c ，23nnT，4 112n两式相减，得 ，23 12nnn ，1nT ，2210nn .1n考点冲关1【答案】B【解析】由 ， 可知数列 的首项和公差分别为 ,所120a432ana14,2na
16、d以 ,故 .故选 B238,6b5,164qbq2【答案】A【解析】依题意可知 ,所以 .故选 A212 245,14,abb125ab3【答案】B【名师点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项和前 n 项和，先求出 q=3，得到等比数列的通项是解题的关键，属于基础题.根据 ， 可以先求出公比 q，然后根据等比数列通项公式得到 ，23a581 na从而得到 为等差数列，再根据等差求和公式即可.nb4【答案】C【解析】由题意知 恒为定值，且 时， ，所以当 时，5na16n2na1n，所以 ，于是 ，所以数列251637na510537a0na是周期为 10 的周期数列，所以 ，故选 C 220
17、18 8【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得 ，进而得到数列 是周期为 10 的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和10nana解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题. 5 【答案】C【解析】由题意可得： ， ，则21214baS222342143baS等比数列的公比 ，故 .213q329bq本题选择 C 选项.6 【答案】B【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前 项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的n能力，以
18、及转化与化归思想的应用.解本题时，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第 14 行的最后一个数字，从而求得第 15 行的第 5 个数字的值.7【答案】D【解析】令 f(x)=x3+2016x,则 f ( x)=3x2+20160，所以 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数.由条件得, f( )=1,f( )=1， ,从而 + =2，201a41a01340a4a2013又等差数列 的前 项和为 ，所以 = = =2016，nnS2016216因为 f( )=1,f( )=1,f(x)在 R 上单调递增，所以 ,即 ，2013a41a4a20134a20
19、13故选 D【名师点睛】本题解题的关键是由题意合理构造函数 f(x)=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确 + =2，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解.4a20138【答案】B9 【答案】 3【解析】数列 是等差数列，数列 是等比数列， ，即 ；nanb1018092aa109a. .262019b2016109235ttatn3故答案为 .310【答案】( ， )2【解析】因为 ，所以 ，两式作差得 ，12na12nan12nan数列 中，奇数项和偶数项分别为公差等于 2 的等差数列，又由条件可得 ，n 1m，若数列 为递增数列，则只需 ，解得 .234,2,5amamna
20、23a32故填( ， ).1【名师点睛】本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列 和数列135,分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据 求解，注意分类讨论，246,a 0na即当 n 为奇（偶）数时， 为偶（奇）数.1n11【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】 ， ，37a32a ，2 ，1n ， ，1a1122nna 是首项为 ，公比为 的等比数列.n【思路点拨】 （1）根据条件构造等比数列： ，再根据等比数列的定义给予证明；12nna（ ）（2）先根据等比数列通项公式求得 ，即得 的通项公式，再根据分组求和法得 ，最12nnananS后判断 是否成立. 2nSa
21、12 【答案】 （1） ， ；（2） .7*N23nT【解析】 （1）设等比数列 的公比为 ，则 .nq0因为 ，12nna所以 ，11nnqaq因为 ，解得 .02所以 ， .1764nna*N（2） .2lognba2271log17nnn设 ，则 .7ncc21234T21nb3cc2241nnc12123221nc3412nccc672n13.2n13 【答案】 （1） ；（2）见解析.4na（2）由（1）可得 ，12nS所以 ，2412nbnn所以 ，111232 2nT所以 .n【名师点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切
22、不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的14 【答案】 （1） an=2n1；（2） .1236nnT（2）令 ，则 ，12nnacb12nnTcc ， 1352nT， 231 12 nn,得 2111122nnnT1nn，23n所以 16T【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用15 【答案】 （1）见解析；（2）11.【解析】 （1）设等差数列 的公差为 ， ，nad22111afxx，23afxx24因为 ， ，132所以 ，解得 或24x0x2当 时， ， ，
23、 ，此时 ， ；01a234ad2na当 时， ， ， ，此时 ， .2x6（2）若 单调递增，则 ， ， ，n0d2n012nSn由不等式 解得 （且 ） ，11414所以 的最小值为 11. n直通高考1 【答案】B【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2ln1,e,10.xxx2 【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由 是 的等差中项得 ，42a35,3542a所以 ，3428解得 .48由 得 ，3520a1()20q因为 ，所以 .1q【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写 出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1 两种情况求解.3 【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分（1）由条件知： 12(,)nnadb
