1、 2019 年高考数学讲练测【新课标版 】 【讲】第四章 三角函数与解三角形第 03 节 三角函数图象与性质【考纲解读】考点 考纲内容 5 年统计 分析预测三角函数的图象和性质能画出 xyxytancossin，的图像；了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间 02， 的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等），理解正切函数在区间（ 2，）的单调性.2014 新课标 II.理 14；2015 新课标 I.理 8； 2016 新课标 I.理 12；II.理7；III.理 14,21；2017 新课标 I 理 9；II理14；III.理 6. 2018 新课标 I.理 16；
2、II.理10；III.理 15.1.“五点法”作图；2,.三角函数的性质；3.往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.4.备考重点：(1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象；(2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】1正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数 sinyx,余弦函数 cosyx,正切函数 tanyx的图象与性质性质 costanyx图象定义域 RR,2xkZ值域 1,1,R最值当2xkZ时，max1y；当 2kZ时，miny当 2xkZ时，ma1y；当 2xk时，miny既无最大值，也无最小值周期性 2奇偶性 sisix,奇函数 cossx偶函
3、数 tantax奇函数单调性在 2,2kkZ上是增函数；在 32,2kkZ上是减函数在 2,kkZ上是增函数；在 ,上是减函数在 ,2kkZ上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2xZ，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kkZ对称轴 x，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kZ无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（2） （五点法） ，先列表，令 30,2x，求出对应的五个 x的值和五个 y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到 sinyAxh在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数 的图像.
4、2三角函数的定义域与值域（1）定义域： sinyx, cos的定义域为 R, tanyx的定义域为 ,2xkZ.（2）值域： i, 的值域为 1, t的值域为 R.（3）最值： sinyx：当2kZ时， max1y；当2kZ时， min1ycoy：当 kZ时， max1y；当 2kZ时， min1ytax：既无最大值，也无最小值3.三角函数的单调性（1）三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 22k， )(Z，递减区间是 3k， )(；xycos的递增区间是 k2，Z，递减区间是 k2， )(，xytan的递增区间是 2k， )(，（2）复合函数的单调性设 yfu， ,gxabumn都是
5、单调函数，则 yfgx在 ,ab上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表 yfuugxyfgx增 增 增增 减 减减 增 减减 减 增4 .三角函数的对称性（1）对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为 2xk，对称中心为 (,0) kZ；co的对称轴为 ，对称中心为 2；tanyx对称中心为 ,02kZ.（2）对于 si()Ax和 cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.iy（的图象有无穷多条对称轴，可由方程 2xkZ解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与 x轴的交
6、点，可由 xkZ，解得 xk，即其对称中心为 ,0kZ（3）相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 ,函数的对称轴一定经过图象的最高点或T2 T2最低点5.三角函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意 x，如果有 ()fx= f，则函数是偶函数，如果有()fx=- (f，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于 y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3） ()fx为偶函数 ()|)fx（4）若奇函数 f的定义域包含 0，则 (0f（5） sinyx为奇函数， cosyx为偶函数， tanyx为奇函数.6
7、.三角函数的周期性（1）周期函数的定义一般地，对于函数 ()fx，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x值，都有 ()(fxTf ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期（2）最小正周期：对于一个周期函数 ()fx，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做 ()fx的最小正周期 （3） siny, cos周期为 2, tanyx周期为 .【重点难点突破】考点 1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质【1-1】 【2018 年全国卷理】函数 在 的零点个数为_【答案】【1-2】 【2017 课标 3，理 6】设函数 f(x)=cos(x+ 3)，
8、则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2 By=f(x)的图像关于直线 x= 83对称Cf(x+)的一个零点为 x= 6Df(x)在( 2,)单调递减【答案】 D【解析】【领悟技法】用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为 sinyAxh0,A或cosyAxh0,A的形式；求出周期 2T；求出振幅 A；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点【触类旁通】【变式一】 【2018 届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考】函数 f（x）=Asin（x+）（A0，0，| ）的图象如图，则 =（ ）2A. B. C. D. 3 6 6 3【答案】B【解析】分析：先根据
9、图确定半个周期，得 ，再根据最大值求 .详解：因为 ，所以2= 3( 6)= 2 = ,=2=2,因为 ，所以(2 3+)=1 23 += 2+2 (),= 6+2 (),因为| 因此 ，2， = 6选 B.【变式二】 【江西省赣州市 2018 年 5 月高考适应性考试】若函数 在区间 上有两()=3(2+6) 0,2个零点 ， ，则 （ ）1 2 1+2=A. B. C. D. 3 23 56 2【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，根据题中所给的区间，可以求得函数在给定区间上的对称轴的位置，结合函数图像的对称性，结合中点坐标公式，从而可得 的值.1+2考点 2 三角函数的定
10、义域与值域【 2-1】函数 12lg(sin1)ycox的定义域是_【答案】 5,.36xkkZ【解析】(1)由题意得 120,cosxin，即1,2,cosxin，分别由三角函数线得522,33,66kxk，522,.36kxkZ【2-2】 【2018 年北京卷文】已知函数 .()=2+3（）求 的最小正周期； ()（）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.()3, 32 【答案】 （） .（） . 3【解析】分析：（1）将 化简整理成 的形式，利用公式 可求最小正周期；() ()=(+)=2|（2）根据 ，可求 的范围，结合函数图像的性质，可得参数 的取值范围.3, 26 详解：（）
11、，()=122 +322=322122+12=(2 6)+12所以 的最小正周期为 .()=22=【领悟技法】1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成 y Asin(x )的形式求值域；(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用 sin xcos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域【触类旁通】【变式一】函数 的定义域是（ ）2cos1yA. B. 2,3k
12、kZ 22,3kkZC. D. ,6,【答案】D【解析】由 0 得 , ，kZ.2cos1x1cos2x233kxk故选 D.【变式二】 【2017 新课标 2】函数 （ ）的最大值是_()=2+334 0,2【答案】1考点 3 三角函数的单调性【3-1】 【2018 届福建省漳州市 5 月测试】已知函数 （ ， ） ，满足()=2(+)+1 0|0,0 +体，由 求得函数的减区间， 求得增区2+2+32+2() 2+2+2+2间；若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规0,0(A0)( 4)=1=( 4)A. 是奇函数 B. 的图象关于点 对称( 2,0
13、)C. 是偶函数 D. 的图象关于直线 对称= 2【答案】C【解析】分析：由 可得 ，将其代入 化简得到(4)=1 4+=2+2, =( 4)，所以函数为偶函数=( 4)=详解：由题意得 ，(4)=sin(4+)=1 4+=2+2, =( 4)=( 4)+=(4 +)=( 2+2)，=( 2)=函数 为偶函数=( 4)故选 C【领悟技法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ()fx；最后比较 ()fx和()fx的关系，如果有 ()fx= f，则函数是偶函数，如果有 ()
14、fx=- (f，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数 ()f的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数 ()fx的奇偶性，常见的结论如下：(1)若 sin()yAx为偶函数，则有 ()2kZ;若为奇函数则有 ()kZ；(2)若 co为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 2；(3)若 ta()yx为奇函数则有 ()k.【触类旁通】下列四个函数中，既是 上的增函数，又是以 为周期的偶函数的是（ ）0,2A. B. C. D. tanyxsinyxcosyxcosyx【答案】B考点 6 三角函数的周期性【6-1】 【2018 年全国卷文】函数 的最小正周期为()= 1+2A
15、. B. C. D. 4 2 2【答案】C【解析】分析:将函数 进行化简即可()= 1+2详解：由已知得()= 1+2=1+()2=122的最小正周期()=22=故选 C.【6-2】 【2017 天津，文理】设函数 ()2sin()fx， xR，其中 0， |.若 5()28f，()08f，且 ()fx的最小正周期大于 ，则（A） 23， 1（B） 23， 1（C） 13， 24（D） 13， 24【答案】 【领悟技法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当 x取定义域内的每一个值时，都有 ()(fxTf.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法： ()sin
16、()fxAx和 (cos()fAx的最小正周期都是 2|T，()tan()fx的周期为 T.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如 xysin,i2的周期都是 , 但 sinyxco的周期为 2，而1|(3)|,2si(3)2|66y， |ta|x的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为 si()
17、yAh或 cos()yAxh的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 T，正切函数的最小正周期公式是 T；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【触类旁通】【变式一】 【2017 课标 II，文 3】函数()sin2)3fx的最小正周期为（ ）A.4 B.2 C. D. 【答案】C【变式二】设函数 ()sin()fxAx（ ,A是常数， 0,）.若 ()fx在区间 ,62上具有单调性，且 236f，则 (f的最小正周期为 .【答
18、案】【易错试题常警惕】易错典例：求函数 tan23yx的单调递减区间.易错分析：解答本题易直接由： 23kxk，得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性,再一点易忽略 kZ这个条件.正确解析：把函数 tan23yx变为 tan23yx,由 2,kxkZ，得 5,66，即 ,2121kkxZ,故函数 tan3y的单调减区间为 5,212kkZ.温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为 sin()yAx处理(2)在解答本题时，存在两个典型错误一是忽略复合函数的单调性，直接由： 23kk，得出错误结论；二是易
19、忽略对字母 k的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母 的限止.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休.“数“与“形“反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因
20、此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】 【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知函数的部分图像如图 .()=(+)(0,0,|2,)（）求函数 的解析式.()（）求函数 在区间 上的最值，并求出相应的 值.() 0,512 【答案】(1) .()=2(26)(2) 时， ， 时， .=3 ()=(3)=2 =0 ()=(0)=1【解析】分析：（）从图像可以得到 ，故 ，再利用 得出 的大小.=2,= =2(3)=2 （）利用（）中的结论，可先计算当 时 的取值范围，再利用 的性质求 在0,512 + =2 ()相应范围上的最值.（2） ，0,512,266,23 .(26)12,1,2(26)1,2当 时， ， .26=2 =3 ()=(3)=2当 时， ， .26=6 =0 ()=(0)=1所以 ， .()=(3)=2 ()=(0)=1
