1、单元质检三 导数及其应用(时间:120 分钟 满分:150 分)单元质检卷第 5 页 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数 f(x)=ln x-x,则函数 f(x)的单调递减区间是( )A.(-,1) B.(0,1)C.(-,0),(1,+) D.(1,+)答案 D2.曲线 y= 在点( -1,-1)处的切线方程为( )+2A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2答案 A3.(2018 全国 1)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线
2、y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x答案 D解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x 3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x.由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x.4.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)=( )A.-1 B.0C.2 D.4答案 B解析 由条件,知 f(
3、3)=1,k=f(3)=-13. g(x)=f(x)+xf(x), g(3)=f(3)+3f(3)=1+3 =0.故选 B.(-13)5.设点 P 是曲线 y=x3- x+ 上的任意一点,则点 P 处切线倾斜角 的取值范围为( )323A B.0,2)56,) .23,)C D.0,2)23,) .(2,56答案 C解析 因为 y=3x2- - ,故切线斜率 k- ,3 3 3所以切线倾斜角 的取值范围是 0,2)23,).故答案为 C.6.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为( )A B.- C D.-.23 23 .13 13答案 D解
4、析 y=3x2, 点 P(1,1)为曲线 y=x3 上一点, 曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率 k=3,由条件知,3 =-1, =- 故答案为 D. 13.7.已知 f(x)=x3-2x2+x+6,则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A.4 B.5 C D.254 .132答案 C8.(2017 山西五校联考改编)已知函数 f(x)的导数为 f(x),f(x)不是常数函数,且(x+1) f(x)+xf(x)0,对x0,+) 恒成立,则下列不等式一定成立的是( )A.f(1)0 时,不等式 x2+(1-a)x-aln x2a- a2 恒成立,
5、则 a 的取值范围是( )12 32A.0,1)(1, +) B.(0,+)C.(-,0(1, +) D.(-,1)(1, +)答案 A解析 不妨令 f(x)= x2+(1-a)x-aln x-2a+ a2,12 32则 f(x)=x+1-a- ,=2+(1-)- =(-)(+1)当 a0,f(x)在 x0 时单调递增,当 x0 时 f(x)不恒大于 0,不符合题意;当 a=0 时,f(x) = x2+x 在 x0 时 f(x)0 恒成立;12当 a0 时,f(x) 在(0,a)上单调递减,在( a,+)上单调递增,f(x)min=f(a)=a2-a-aln a=a(a-1-ln a),令 g
6、(a)=a-1-ln a,g(a)=1- ,g(a)在(0,1) 上单调递减,在(1,+)上单调递增,1g(a)min=g(1)=0,故当 a0 时且 a1 时 f(x)0,综上 a 的取值范围是0,1)(1, +),故答案为 A.10.若 mR,函数 f(x)=x- -2ln x 有两个极值点 x1,x2(x10,m0,得 00,y ;1-21- 89 89 (0,3227)当 m0,函数是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,函数 f(x)在区间0,2 内的值域是 -2,2.故答案为 y=-3x;-2,2.12.函数 f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为 6,
7、极小值为 2,则 a= ,f(x)的单调递减区间是 .答案 1 (-1,1)解析 令 f(x)=3x2-3a=0,得 x= .f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:x (-,-) - (- ), ( ,+)f(x)+ 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 从而 (- )3-3(- )+=6,( )3-3+=2. 解得 所以 f(x)的单调递减区间是 (-1,1).=1,=4,13.(2017 浙江温州调研改编)已知函数 f(x)= x2-ax+ln x,若 a=1,则切线斜率的取值范围为 ,12若函数存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 答案 1,+) 2,+)解析
8、f(x)= x2-ax+ln x,12 f(x)=x-a+1.a=1 时,f( x)=x+ -11,1若 f(x)存在垂直于 y 轴的切线, f(x)存在零点, x+ -a=0 有解 ,1 a=x+ 2(x0).114.函数 f(x)=x3-3x 的极小值为 ,在(a,6-a 2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是 . 答案 -2 -2,1)解析 令 f(x)=3x2-3=0,得 x=1,且 x=1 为函数的极小值点,f (1)=-2,x=-1 为函数的极大值点.函数 f(x)在区间(a,6-a 2)上,则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6-a 2)内,即实数 a 满足 a0,f =0,
9、因此 2 -a +1=0,解3 (3) (3)3(3)2得 a=3.从而函数 f(x)在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减 ,所以 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4.故 f(x)max+f(x)min=1-4=-3.17.函数 y=x+2cos x 在区间 上的最大值是 . 0,2答案6+3解析 y=1-2sin x,令 y=0,且 x ,得 x= ,则 x 时,y0;x 时,y0,112=-12 h(x)=ln x+ 在1,+) 上递增,1 -(a+1)h(1)=1, a-2.19.(15 分)(2017 浙江台州模拟 )已知函数 f(x)=x3+ax2+b
10、x+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值.23(1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间;(2)若对 x- 1,2,不等式 f(x)f(2)=2+c.解得 c2.20.(15 分) 设函数 f(x)=x2+ax-ln x(aR ).(1)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)在区间 (0,1上是减函数,求实数 a 的取值范围;(3)过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,证明: 切点的横坐标为 1.(1)解 a=1 时,f(x )=x2+x-ln x(x0), f(x)=2x+1- ,当 x 时,f (x)0. f(x)的单调递减区1=(2-1)(+1)
11、(0,12) (12,+)间为 ,单调递增区间为(0,12) (12,+).(2)解 f(x)=2x+a- , f(x)在区间 (0,1上是减函数,1 f(x)0 对任意 x(0,1恒成立,即 2x+a- 0 对任意 x(0,1恒成立.1 a -2x 对任意 x(0,1恒成立,令 g(x)= -2x,1 1 ag(x) min,易知 g(x)在(0,1 上单调递减 , g(x)min=g(1)=-1. a- 1.(3)证明 设切点为 M(t,f(t),f(x)=2x+a- ,1切线的斜率 k=2t+a- ,又切线过原点,则 k= ,1 ()=2t+a- ,即 t2+at-ln t=2t2+at
12、-1.() 1 t2-1+ln t=0,存在性:t=1 满足方程 t2-1+ln t=0, t=1 是方程 t2-1+ln t=0 的根.再证唯一性:设 (t)=t2-1+ln t,(t)=2t+ 0,1(t)在 (0,+)单调递增,且 (1)=0, 方程 t2-1+ln t=0 有唯一解.综上,切点的横坐标为 1.21.(15 分)(2017 浙江杭州高三期末 )设函数 f(x)=x2+ ,x0,1.1+1(1)证明:f(x) x 2- x+ ;49 89(2)证明: 6881(29)=7738916881所以 8-8ln 2;(2)若 a3-4ln 2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx
13、+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.证明 (1)函数 f(x)的导函数 f(x)= ,121由 f(x1)=f(x2),得 ,12111=12212因为 x1x2,所以11+12=12.由基本不等式,得 2 ,1212=1+2412因为 x1x2,所以 x1x2256.由题意得 f(x1)+f(x2)= -ln x1+ -ln x2= -ln(x1x2).1 21212设 g(x)= -ln x,则 g(x)= -4),12 14( 所以x (0,16 16 (16,+) )g(x) - 0 +g(x) 2-4ln 2所以 g(x)在256,+)上单调递增,故 g(x1x2)g(256)=8-8ln 2,即 f(x1)+f(x2)8-8ln 2.(2)令 m=e-(|a|+k),n= +1,则(|+1)2f(m)-km-a|a|+k-k-a0,f(n)-kn-a0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.
