1、葫芦岛市第一高级中学课外拓展训练（十）高二年级下 数学文科 一、单选题1.集合 ，若 ，则实数 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2或 32.已知复数 z,满足 ，则复数 等于（ ） A. 2i B. 2i C. 2+i D. 2i+ 23.下列函数中，满足在 上单调递减的偶函数是（ ） A. B. C. D. 4.点 P（2,5）关于 x+y+1=0的对称点的坐标为（ ） A. (6,3) B. (3,-6) C. (-6,-3) D. (-6,3)5.圆锥的底面半径为 a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3 6.一个几何体的三
2、视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 7.设 x,y满足 ，则 z=x+y（ ） A. 有最小值-7，最大值 3 B. 有最大值 3，无最大值C. 有最小值 2，无最大值 D. 有最小值-7，无最大值8.设 是两个不同的平面，直线 则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知命题 ，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 10.数列 的前 n项的和满足 则下列为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 11.已知 O为ABC 内一点，且 若 B、O、D 三点共线，则 t的值
3、为（ ） A. B. C. D. 12.如果圆 上总存在到原点的距离为 的点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题13.函数 ，的图像恒过定点 P，则 P点的坐标是_. 14.如果直线 与直线 平行，那么 a的值是_. 15.在ABC 中，角 A、B、C 所对的边为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 ，则 的值是_. 16.已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的取值范围是_ 三、解答题17.设数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 60项的和 T60. 18.已知向量 ， ， （1）求函数 的最小正周期及 取得最大值时对应的 x的
4、值； （2）在锐角三角形 ABC中，角 A、B、C 的对边为 a、b、c，若 ,求三角形 ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状. 19.如图点 P为矩形 ABCD所在平面外一点，PA平面 ABCD，点 E为 PA的中点，（1）求证：PC平面 EBD; （2）求异面直线 AD与 PB所成角的大小. 20.已知椭圆 过点 ，离心率是 ， （1）求椭圆 C的标准方程； （2）若直线 l与椭圆 C交于 A、B 两点，线段 AB的中点为 求直线 l与坐标轴围成的三角形的面积. 21.已知函数 ,（其中 为 在 处的导数，c 为常数） （1）求函数 的单调区间； （2）若方程 有且只有两个不等的实数
5、根，求常数 c的值. 22.选修 4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，已直曲线 ,将曲线 C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，得到曲线 C1 ， 又已知直线 ，且直线 与 C1交于 A、B 两点， （1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点 , 求 的值； 23.选修 45；不等式选讲已知函数 （1）当 时，求函数 的定义域； （2）若关于 的不等式 的解集是 R ， 求 m的取值范围. 答案解析部分1.【答案】C 【考点】子集与真子集 【解析】【解答】由题意，得 ，则 ；故答案为：C【分析】由子集的定义即可得出结果。2.【答案】A
6、【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】由题意，得 ；故答案为：A【分析】根据题意首先把代数式分母实数化，分子分母同时乘以分母的共轭复数整理结合题意即可得出结果。3.【答案】C 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】因为 为偶函数，且在 上单调递增,所以排除选项 A，因为 是非奇非偶函数，所以排除选项 B， 为偶函数，且在 上单调递减；故答案为：C.【分析】结合奇偶函数以及对应单调性的特点即可得出结论。4.【答案】C 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】设 关于 的对称点为 ，则 ，解得 ，即 关于 的对称点坐标为 ；故答案为：C.【分析】利用点关于直线对
7、称的性质首先设出需要求得点的坐标，再由垂直的直线斜率之积为-1 以及中点在直线上代入数值求出结果即可。5.【答案】A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】设圆锥的母线长为 ，由题意，得 ，即 ，则该圆锥的侧面积为 ；故答案为：A.【分析】首先由扇形的面积公式即可求出圆锥的母线长，再把其值代入到圆锥的侧面积公式计算出结果即可。6.【答案】C 【考点】由三视图求面积、体积 【解析】【解答】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为 2，底面三角形的底边长为 2，高为 ）截去一个同底面的三棱锥（其高为 1）所得，则该几何体的体积为 ；故答案为：C.【分析】根据题意由图可知该几
8、何体是由一个正三棱柱截去一个同底面的三棱锥，借助三棱锥以及三棱柱的体积公式代入数值即可得出结果。7.【答案】C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】将 化为 ，作出可行域和目标函数基准直线 ，当直线 向右上方平移时，直线 在 轴上的截距 增大，由图象，得当直线 过点 时， 取得最小值 ，无最大值；故答案为：C.【分析】根据题意作出不等式的平面区域，联立直线的方程求出交点的坐标把目标函数平移到该点即可得出最小值，而没有最大值。8.【答案】B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】充分性：若 ，则存在过直线 的平面 与 不平行，所以充分性不成立；必要性：若 ，则平面 内的任
9、意直线 都与 平行，则必要性成立，所以是必要不充分条件。故答案为：B。【分析】主要看前后是否能够相互推出.m 不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，反之，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在 m.解题的关键是注意平面与平面平行的判定与性质.9.【答案】B 【考点】复合命题的真假 【解析】【解答】当 时， ，则命题 为假命题，令 ，因为 ，即函数 在区间 内存在零点，即 有解，即命题 为真命题，则 为真命题；故答案为：B.【分析】首先结合题意判断出命题 p 为假命题，命题 q 为真命题再由复合命题的真假判断逐一判断即可得出结果。10.【答案】A
10、【考点】等比数列，等比数列的通项公式 【解析】【解答】当 时，由 得 ，即 ；当 时，由 得 ，两式相减，得 ，即 ，则 ，又 ，所以数列 是以 3为首项、公比为 3的等比数列；故答案为：A.【分析】首先利用数列 an与 Sn的关系求出数列 an的通项公式，由通项公式即可证明出数列为 3为首项、公比为 3的等比数列。11.【答案】B 【考点】向量的共线定理，三点共线 【解析】【解答】设线段 的中点为 ，则 ，因为 ，所以 ，则 ，由 三点共线，得 ，解得 ；故答案为：B.【分析】利用向量的线性运算整理即可得出 B , O , D 三点共线，从而计算出 t的值。12.【答案】D 【考点】点到直线
11、的距离公式，圆与圆的位置关系及其判定 【解析】【解答】到原点的距离为 的点的轨迹为圆 ，因此所求问题转化为圆 与圆 相交有两个交点，两圆的圆心半径分别为 ， ，所以 ，解不等式得 的取值范围是 ，故答案为：A.【分析】根据题意转化题意为圆与圆相交有两个交点，再由题意求出两圆的半径的值借助两圆的位置关系即可求出 a的取值范围即可。二、填空题13.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】令 ，解得 ，且 恒成立，所以函数 的图象恒过定点 ；故填 .【分析】根据题意把特殊点代入到对数函数的解析式，利用对数的特殊值求出结果即可。14.【答案】-2 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的
12、关系 【解析】【解答】因为 与直线 平行，所以 ，解得 ；故填 .【分析】由两条直线平行的系数关系即可求出a的值。15.【答案】【考点】等比数列的性质，同角三角函数间的基本关系，正弦定理 【解析】【解答】因为 成等比数列，所以 ，由正弦定理，得 ，因为 且 ，所以 ，则 ；故填 .【分析】首先由等比数列的项的性质再结合正弦定理求出 cos B的值，然后由同角三角函数的关系式求出 sinB的值，对原式切化弦整理化简即可得到结果。16.【答案】【考点】函数单调性的性质，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】设直线 与曲线 相切于点 ，因为 ，所以 ，即 ，则 ，又因为 为正实数，所以 ，
13、且 在 内为减函数，所以 ，即 的取值范围为 ；故填 .【分析】首先根据题意求出切点的坐标，再对函数 f(x) 求导利用导数值即为切线的斜率值，进而得到关于 b的代数式借助函数单调性由整体思想即可求出取值范围。三、解答题17.【答案】（1）解： 数列 满足 时， -得 ，即 当 n=1时， 适合上式， （2）解：令 ，即 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】(1)结合题意对 n赋值得到关于该数列的两个代数式，两式相减即可得出数列 an的通项公式，经过验证从而得到数列的通项公式。(2)首先整理数列的通项公式再由裂项相消法即可求出 T60的值。18.【答案】（1）解：由已知得 ，又 于
14、是 的最小正周期为 ；当 ，即 ， 的最大值为 （2）解：锐角三角形中 ABC，由（1）得 ， 由余弦定理知 即 (当且仅当 b=c时取得等号成立) ,当三角形 ABC为等边三角形时面积取得最大值为 【考点】基本不等式，平面向量数量积的运算，二倍角的正弦，二倍角的余弦，余弦定理 【解析】【分析】(1)首先由向量的数量积坐标公式求出函数 f(x) 的代数式，在借助正、余弦的二倍角公式利用凑角公式整理化简即可得到函数 f(x) 的最简形式，利用正弦型函数的周期公式求出其周期值，以及正弦型函数的单调性求出其最大值。(2)根据题意由待定系数法求出 A的值，再借助余弦定理以及基本不等式求出 b c 12
15、，进而求出三角形面积的最大值。19.【答案】（1）解：如图连接 AC与 BD交于点 O，则 O为 AC的中点，又 E为 PA的中点， 平面 BED, 平面 BED 平面 BED.（2）解：因为 平面 ABCD，而 平面 ABCD , 即 又 ABCD为矩形，则 又 ， 平面 PAB, 则 ,即 ，异面直线 AD与 PB所成的角即为 【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中位线的性质得出线线平行，进而利用线面平行的判定定理即可得证结果。(2)由已知的线面垂直的性质定理即可得出PA B C，然后利用
16、线面垂直的判定定理得出 BC平面 PAB, 从而得出 PBC=90，进而得出异面直线所成的角为 90.20.【答案】（1）解：由已知可得, , 解得 a=2，b=1 椭圆的方程为 （2）解：设 、 代入椭圆方程得 ， 两式相减得 ,由中点坐标公式得 ， 可得直线 AB的方程为 令 x=0可得 令 y=0可得 则直线 与坐标轴围成的三角形面积为 【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)首先由椭圆的简单性质代入数值求出 a与 b的结果从而得到椭圆的方程。(2)根据题意设出两个点的坐标，并分别代入到椭圆的方程再把两式相减，利用中点坐标的值即可求出直线的斜率，再由点斜式
17、即可求出直线的方程，然后求出该直线与坐标轴的交点坐标从而求出直线 与坐标轴围成的三角形面积。21.【答案】（1）解：由 得 令 得 解得 ，而 由 的图像知 的单调递增区间是 的单调递减区间是 .（2）解：由（1）知方程 =0有且只有两个实数根等价于 或者 常数 或 1 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数 f(x) 的导函数，再由导函数的正负情况得出原函数的单调性以及对应的单调区间。(2)利用(1)的结论即可得出原函数的极值情况，从而求出对应的极值的常数 c的值。22.【答案】（1）解：曲线 C的直角坐标方程为 ，即 曲线 的直
18、角坐标方程为 曲线 是焦点 长轴长为 4的椭圆（2）解：将直线 的参数方程代入曲线 的方程 中得 ，设 A、B 对应的参数为 、 + =- ， = 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】(1)由题意利用极坐标和直角坐标的互化关系即可求出曲线 C 1的直角坐标方程，进而判断出该曲线为椭圆。(2)把直线的参数方程代入到椭圆的方程，根据韦达定理求出 t A + t B与 t AtB的值，整理化简要求的代数式代入数值求出结果即可。23.【答案】（1）解：由已知得当 m=-5时， 不等式等价于以下三个不等式的并集或 或 解得 定义域为 （2）解：不等式 即 即， 恒有 不等式 的解集为 R 解得 m的取值范围为 . 【考点】绝对值不等式，绝对值不等式的解法 【解析】【分析】(1)根据题意由绝对值不等式整理化简得到关于 x的不等式组，解出 x 的取值范围即可。(2)结合题意利用绝对值的性质即可求出代数式 | x + 1 | + | x 2 | m + 2 的解集为 R ，结合不等式的解法即可求出 m的取值范围。
