1、实际问题,归纳,图像,实际问题 的答案,本章知识结构图,目标,二次函数,抽象,性质,利用二次函数的图像 和性质求解,一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)，那么，y 叫做x的二次函数。,一、定义,二、图象特点和性质,三、解析式的求法,1.特殊的二次函数 y=ax2 (a0) 的图象特点和函数性质,一、定义,三、解析式的求法,(1)是一条抛物线； (2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a0时,开口向上； a0时,开口向下.,(一) 图象特点:,（1） a0时，y轴左侧，函数值y随x的增大而减小 ； y轴右侧，函数值y随x的增大而增大 。a0时，ymin
2、=0a0时，ymax=0,(二) 函数性质：,2.一般二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象特点和函数性质,一、定义,三、解析式的求法,(1)是一条抛物线； (2)对称轴是:x=- (3)顶点坐标是:(- , ) (4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.,(一) 图象特点:,（1） a0时，对称轴左侧(x- )，函数值y随x的增大而增大 。a- )，函数值y随x的增大而减小 。（2） a0时，ymin=a0时，ymax=,(二) 函数性质：,y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k,y=a(x-x1)(x-x2),一、定义,二、图象的特点和性质,三、解析式的求法,x,y
3、,0,a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,(0,c),a0,
4、a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,(0,0),a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,(0,c),a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点
5、位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,
6、=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,(x1,0),(x2,0),a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,(x,0),a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,(4)确定
7、抛物线与x轴的交点个数：,x,y,0,a0,a0,c0,c=0,c0,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,题型分析: (一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成的面积 例1:填空： (1)抛物线yx23x2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_； (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_,(0,2),(1,0)和(2,0),(0,-3),例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。,例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2
8、+c的图象大致为,(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系,答案: B,例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,(三)根据函数性质求函数解析式,例5：,已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向
9、，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y0？,(四)二次函数综合应用,例5：,已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）
10、值是多少？ （6）x为何值时，y0？,例5：,已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y0？,解:,解,0,x,y,(3),解,0,M(-1,-2),C(0,-),A(-3,0),B(1,0),3,2,y,x,D,解,解,0,x,x=-1,(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,:(5),(-1,-2),当x=-
11、1时，y有最小值为 y最小值=-2,当x-1时，y随x的增大 而减小;,解:,0,(-1,-2),(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,y,x,由图象可知,(6),巩固练习:,1、填空： （1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。 （2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是_ （3）已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_ （4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= _。,1,2,（0，0）（2，0）,x1,2,2.选择 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_.A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2
12、D直线x= -2(2)抛物线y=3x2-1的_A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0),则对称轴是_A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),则对称轴是_A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2,c,B,C,A,3、解答题： 已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图象过点（3，2）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的图象与x
13、轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。,能力训练,1、 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式 中成立的个数是_,1,-1,0,x,y,abc b 2a+b=0 =b-4ac 0,2、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。,(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;,(2)、当x为何值时，y0。,(3)、求它的解析式和顶点坐标；,3、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，3），（2，8）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标。,归纳小结：,（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围,
