1、第二十二章 一元二次方程,22.1 一元二次方程,1,课堂讲解,一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 利用一元二次方程建立实际问题模型 一元二次方程的解（根）,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？,问 题（一）,（来自教材）,分析： 我们已经知道可以运用方程解决实际问题设绿地的宽为x米，不难列出方程x(x10)900，整理得x210x9000. (1),（来自教材）,（来自教材）,学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册求这两年的
2、年平均增长率,问 题（二）,分析：设这两年的年平均增长率为x.已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1x)万册同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1x)倍，即5(1x)(1x)5(1x)2 (万册)可列得方程 5(1x)27.2，整理可得 5x210x2.20. (2),1,知识点,一元二次方程的定义,思 考,问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)显然，这两个方程都不是一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？,知1导,（来自教材）,1. 定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 2
3、. 要点精析：(1) 理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；“一元”是指整个方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未知数的最高次数是2.(2) 一元二次方程的识别方法：整理前：整式方程，只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2.,知1讲,（来自点拨）,【例1】下列方程：是一元二次方程的有( )A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个,知1讲,导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件中有两个未知数；不是整式方程；未知数的最高次数是3；整理后二次项系数为零,A,知1讲,归 纳,判断一个方程是否是一元二次方程
4、，有两个关键点： (1) 整理前是整式方程且只含一个未知数； 整理后未知数的最高次数是2；本例2x23x2(x22)中易出现不整理就下结论，误认为是一元二次方程的错误,（此讲解来源于点拨）,下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( ),若方程(m1)x|m|12x3是关于x的一元二次方程，则有( )A. m B. m C. m 1 D. m 1,知1练,（来自典中点）,2,知识点,一元二次方程的一般形式,知2讲,一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2bxc0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项
5、系数，c是常数项 2理解要点：(1) ax2bxc 0，当a0时，方程才是一元二次方程，但b，c可以是0.(2) 将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、 去括号、移项、合并同类项等步骤,知2讲,(3) 指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指 出某项系数时应连同它前面的符号一起 二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要条件，也是一个隐含条件,（来自点拨）,【例2】 已知关于x的方程(a21)x2(1a)xa20. (1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？并求一元一次方程的解,知2讲,导引：已知条件中说明是关于x的方程，则方程中只含有
6、一个未知数，并且未知数的最高次数是2，但由于二次项系数待定，故分析二次项系数是否为零是确定该方程是否为一元二次方程的关键点,解： （1）由题意得a210，即当a1时，该方程为一元二次方程（2）由题意得a210且1a0，解得a1.此时方程为2x30，解得,知2讲,（来自点拨）,知1讲,归 纳,在一元二次方程的一般形式：ax2bxc0中，a0是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项系数不为零,（此讲解来源于点拨）,1 把方程x(x2)5(x2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是( )A1，3，10 B1，7，10
7、C1，5，12 D1，3，2 一元二次方程2(x1)2x3化成一般形式ax2bxc0后，若a2，则bc的值是 _,知2练,（来自典中点）,知3讲,3,知识点,利用一元二次方程建立实际问题模型,绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？,一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达 2建立一元二次方程模型的一般步骤：(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x；(3)确定等量关系；
8、(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式 3常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等,（来自点拨）,知3讲,【例3】小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个挂图面积的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列出方程,知3讲,导引：本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积在油画四周外围镶上宽度为x cm的边框，则整个挂图的长与宽都增加了2x cm，面积就可表示为(902x)(402x)cm2，再根据油画面积与整个挂图面积之间的关系可列出方程,解： (902x)(40
9、2x)54%9040.,（来自点拨）,知3讲,归 纳,建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要利用题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程 (2) 列一元二次方程的一般步骤：审题，找未知量与已知量；设合适的未知数；确定等量关系；列一元二次方程,（此讲解来源于点拨）,1 (2015呼伦贝尔)学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是( ),知3练,（来自典中点）,2 (2015宁夏)如图，某小区有一块长为18 m，宽为6 m的矩
10、形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行通道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是( ),知3练,（来自典中点）,知4讲,4,知识点,一元二次方程的解（根）,定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根(解) 要点精析：(1) 判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等(2) 根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确(3) 一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的根,【例4】 如果2是一元二次方程x2bx20的一个根，那么b的值为( )A. 3 B. 3 C. 4 D4,知
11、4讲,导引：根据根的意义，将x2直接代入方程的左右两边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，求解即可,（来自点拨）,B,知4讲,归 纳,方程的根就是满足方程左右两边相等的未知数的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中字母的值，只需把已知方程的根代入原方程，就可求岀相关的待定字母的值,（此讲解来源于点拨）,(2015青海)已知关于x的一元二次方程2x23mx50的一个根是1，则m_2 (2015重庆)一元二次方程x22x0的根是( )Ax10，x22 Bx11，x22Cx11，x22 Dx10，x22,知4练,（来自典中点）,判别一元二次方程的“两方法”：根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一 个未知数；三是未知数的最高次数是2.根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2bxc0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关,必做：,1.完成教材P20,习题22.1 T1-T3 2.补充: 请完成典中点剩余部分习题,
