1、,第二十四章 圆,24.1 圆的有关性质,第2课时 垂直于弦的直径,1,课堂讲解,圆的对称性、垂径定理、垂径定理的 推论,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,前面，我们学习了与圆有关的一些概念，接下来研究圆的性质.,1,知识点,圆的对称性,问 题（一）,剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？,知1导,问 题（二）,知1导,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？,知1导,归 纳,通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.,【例1】求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是
2、圆的对称轴.,知1讲,导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点 关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.,知1讲,（来自教材）,证明：如图，设CD是O的任意一条直径，A为O上点C,D以外的任意一点.过点A作AACD，交O于点A，垂足为M，连接OA，OA.在OAA中，OA=OA,OAA是等腰三角形.又AACD，AM=MA.即CD是AA的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.,总 结,知1讲,（来自点拨）,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对 称轴 要点精析：
3、 (1)圆的对称轴有无数条 (2)因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”,1 下列说法中不正确的是( )A经过圆心的直线是圆的对称轴B直径是圆的对称轴C圆的对称轴有无数条D当圆绕它的圆心旋转60时，仍会与原来的圆重合,知1练,（来自典中点）,2 如图所示，在O中，将AOB绕圆心O顺时针旋转 150，得到COD，指出图中相等的量,知1练,（来自点拨）,2,知识点,垂径定理,知2导,分析解答：如果O的直径CD垂直于弦AA，垂足为M，那么点A和点A是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A重
4、合，AM与AM重合，AC，AD分别与AC，AD重合 .因此，AMAM，ACAC， AD AD .即直径CD平分弦AA，并且平分AA，ACA.,知2导,知2导,归 纳,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.,【例2】赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.,知2讲,分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.,知2讲,（来自教材）,解：,如图，用AB表示主桥拱，设A
5、B所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C， 连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23， 所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23. 在RtOAD中，由勾股定理， 得OA2=AD2+OD2， 即R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.,总 结,知2讲,(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可 (2)垂径定理
6、中的弦可以为直径 (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据,如图，在O中，弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的距离为3 cm.求O的半径.,知2练,（来自教材）,2 (2015广元)如图，已知O的直径ABCD于点E，则 下列结论中错误的是( )ACEDE BAEOEC. BCBD DOCEODE,知2练,（来自典中点）,知3讲,3,知识点,垂径定理的推论,通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.,【例3】如图所示，O的直径CD10 cm，AB是O的弦， AM BM，OMOC35，求AB的长.,知3讲,解：圆O的
7、直径CD=10cm，圆O的半径为5cm，即OC=5cm，OM：OC=3：5，OM= OC=3cm，连接OA，ABCD，M为AB的中点，即AM=BM= AB，在RtAOM中，OA=5cm，OM=3cm，根据勾股定理得：AM= 则AB=2AM=8cm,（来自典中点）,总 结,知3讲,（来自点拨）,关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质： (1) 直线过圆心；(2)直线垂直于弦；(3)直线平分弦(不是直径)；(4) 直线平分弦所对的优弧；(5)直线平分弦所对的劣弧如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题,1 如图，AB是O的直径，BAC42，点D是弦A
8、C 的中点，则DOC的度数是_度,知3练,（来自典中点）,2 已知：如图，O 中， AB为弦，C 为弧AB 的中点， OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA.,知3练,通过本课时的学习，需要我们： 1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2.掌握垂径定理的推论，明确理解“知二得三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.,必做：,1.完成教材P83 T2 P89- P90 T8-T12、T15、 T16 2.补充: 完成典中点P80 T5、T7、T15,必做：,1.完成教材P83 T2 P89- P90 T8-T12、T15、 T16 2.补充: 完成点拨P138举一反三T3 P139 T5 P141 例2,
