1、页 1 第广西陆川县中学 2018 届高三下学期押轴密卷理科数学试题 第 I卷 (选择题，共 60分）一、选择题（本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1计算2ii等于 （ ） A 45i B 34i C 54i D 43i2已知命题 :pRx， cos1x，则 p是 （ ）A ， s B Rx， cos1xC ， D ， 3在矩形 BD中， 4,3A，若向该矩形内随机投一点 P，那么使得 ABP与 D的面积都不小于 2 的概率为A 14 B 1 C 47 D 494已知函数 ()()fxaxb为偶函数，且在 (0,)单调递减，则
2、(3)0fx的解集为A 2, B ,2(4,) C 1, D ,1(,)5已知双曲线21xya的离心率为 ，则 a的值为A1 B C1 或 2 D-16等比数列的前 n项和，前 2项和，前 3n项和分别为 ,AB，则A C B A C 3 D 2()ABC7执行如图所示的程序框图，若输入 0,2m，输出的 1.75x，则空白判断框内应填的条件为A 1?mn B 0.5?n C 0.2?n D 0.1?mn 8将函数 2si3fxx图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图页 2 第象向左平移 12个单位得到函数 gx的图象，在 gx图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A
3、 4x B 4 C 524 D 12x9在 239()()(1)x 的展开式中，含 x项的系数是A119 B120 C121 D72010我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也 ”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶 ”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A 1603 B 160 C 2563 D 64 11设正实数 zyx,满足 04322zyx,则当 zxy取得最大值时， zyx21的最大值为 A 0 B 1 C 49D 312.设点 P在曲线 2xye上，点 Q在
4、曲线 )2ln(xy上，则 |PQ最小值为（ ）（A） 1ln （B） (l) （C） 1l （D） 2(1ln) 二、填空题（本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分）13已知变量 ,xy满足约束条件 2 6xy，则 2zxy的取值范围是_14 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C所对的边，若 cos2CacBb， 则 B_15如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图， 给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随机抛掷 1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为_
5、(参考数据： 36.57.134.2， ，答案精确到整数)16设二次函数 fxabc（ ,a为常数）的导函数为 fx，对任意 xR，不等式页 3 第fxf恒成立，则 2bac的最大值为_三、解 答 题 ： 共 70分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第17 21题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .每 22、 23题 为 选 考 题 ， 考生 根 据 要 求 作 答 .（一）必考题：共 60分.17 （12 分）若数列 na的前 项和为 nS，首项 10a且 2nnSa()N（1）求数列 的通项公式；（2）若 0(
6、)naN，令 (+2)nnba，求数列 nb的前 项和 nT18.（本小题满分 12 分）2016 年 1月 1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行网格化管理，该市妇联在网格 1与网格 2两个区域内随机抽取 12个刚满 8个月的婴儿的体重信息，休重分布数据的茎叶图如图所示(单位：斤,2 斤=1 千克）,体重不超过 9.8kg的为合格.()从网格 1与网格 2分别随机抽取 2个婴儿，求网格 1至少一个婴儿体重合格且网格 2至少一个婴儿体重合格的概率；()妇联从网格 1内 8个婴儿中随机抽取 4个进行抽检，若至少 2个婴儿合格，则抽检通过，若至少 3个合格，则
7、抽检为良好.求网格 1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；（）若从网格 1与网格 2内 12个婴儿中随机抽取 2个，用 X表示网格 2内婴儿的个数，求 X的分布列及数学期望.页 4 第19.（本小题满分 12分）如图在棱锥 PABCD中， 为矩形， PD面 ABC， 2P， B与面 PCD成 045角， B与面 成 03角.()在 上是否存在一点 E，使 面 E？若存在确定 点位置，若不存在，请说明理由；()当 E为 中点时，求二面角 的余弦值.20. （本小题满分 12分）已知椭圆 C：21(0)xyab的离心率与双曲线124yx的离心率互为倒数，且过点3(1)2P，（1）求椭圆 C的
8、方程；（2）过 作两条直线 12l， 与圆223(1)(0)xyr相切且分别交椭圆于 M、 N两点 求证：直线 MN的斜率为定值； 求 MON面积的最大值（其中 O为坐标原点）21（本小题满分 12分）已知函数f（x）=（x 36x2+3x+t）e x，tR （1）当 t时，函数f（x）在点（ 0，f （0）处的切线方程； （2）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围；（3）若存在实数t0，2，使对任意的 x1 ，m，不等式 f（x）x恒成立，求正整数m的最大值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满
9、分 10分）在直角坐标系 xOy中，曲线页 5 第1C的参数方程为 sinco2xy（ 为参数） ，若以该直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2)4sin(.()求曲线 1的普通方程和曲线 2的直角坐标方程；()求曲线 上的动点与曲线 上动点的最小距离.23.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10分）已知函数 ()12,fxxR，其最小值为 m.()求 m的值；()正实数 ,abc满足 3c，求证： 132abc.页 6 第理科数学试题参考答案及评分标准15. ADDBC 610DBABA1112 B B13 ,0【解析】作出不等式组对应的
10、平面区域如图由 z=x2y 得 y= 12x z，平移直线 y= 12x z，由图象可知当直线 y= x z 经过点 A(2，4) 时，直线 y= x z 的截距最大，此时 z 最小为 z=28=6，当直线 y= 12x z 经过点 O(0，0)时，直线 y= 12x z 的截距最小，此时 z 最大为 z=0。故答案为：6，014 3【解析】因为 cos2CacBb，由正弦定理得 cosinsCAB，即cosiniinosA， 2inicosinBC，所以 1cos2， 315设大正方形的边长为 a，则根据直角三角形，其中一角为 30o可得直角三角形短的直角边长为 a，长的直角边长为 3，即小
11、正方形的边长为 a，则大正方形的面积为 24a，小正方形的面积为2214aa，米粒落在小正方形内的概率为 23落在黄色图形内的图钉数大约为 1000 314 16 2【解析】试题分析：根据题意易得： 2fxab，由 fxf得： 0axbxcb在 R 上恒成立，等价于： 0 A，可解得： 224cac，则： 22241cbaca，令 1,(0)ctta， 页 7 第24422tyt，故 2bac的最大值为 217 （1） 1()nna或 a；（2） 324(1)nTn解析：（1）当 时， 11S，则 a 当 2n时，2211nnn aa，即 111()()0nnn 或 1na或 a 6分（2）由
12、 0n， n， ()(2)nbn11132()324+4(+1)n nT 12分18.解析：()由茎叶图知，网格 1内体重合格的婴儿数为 4，网格 2内体重合格的婴儿数为 2，则所求概率22484518CP.3分()设事件 A表示“2 个合格，2 个不合格”；事件 B表示“3 个合格，1 个不合格”； 事件 C表示“4个全合格”；事件 D表示“抽检通过”；事件 E表示“抽检良好”. 23144488570CPBP，3144870E，则所求概率 1753PDE.7分（）由题意知， X的所有可能取值为 0,1,2. 281403CP， 148263CP， 241CPX， X的分布列为页 8 第 1
13、4612033EX.12分19.()解：建立如图所示的空间直角坐标系 xyzD， 由题意知 1CDP， 2E，设 PB，(2,1)PB， (0,1)PC,由 ,2,)0CDEE ，得 12，即存在点 E为 PC中点. 6 分()由()知 (0,)D， (2,0)A， 21(,)E， (0,1)P, (2,0)DA，21(,E， ,1P， ,P,设面 A的法向量为 11(,)nxyz，面 的法向量为 22(,)nxyz由的法向量为 10DAE得，1120xyz得 1(0,)同理求得 2(1,0)n,所以 13cos|n,故所求二面角 PAED 的余弦值为 . 12分20.（12 分）（1）可得1
14、2e，设椭圆的半焦距为 c，所以 2ac，分因为 C过点3()P，所以 2194ab，又 b，解得 23ab， ，分所以椭圆方程为24xy 分（2） 显然两直线 12l， 的斜率存在，设为 12k， ， 12,MxyNy， ，页 9 第由于直线 12l， 与圆223(1)(0)xyr相切，则有 12k，分直线 1l的方程为132ykx， 联立方程组2314yx，消去 y，得 211114830xk， 分因为 PM， 为直线与椭圆的交点，所以121843x，同理，当 2l与椭圆相交时，122kx，所以1143kx，而112121243kyx，所以直线 MN的斜率 12x 分 设直线 的方程为 2
15、yxm，联立方程组2143yxm，消去 y得 2230xm，所以2 2115()4(3)MN，分原点 O到直线的距离 5d， 分N面积为222213344(4)32mmS ，当且仅当 2m时取得等号经检验，存在 r（0），使得过点(1)P，的两条直线与圆(1)xyr相切，且与椭圆有两个交点 M， N所以 OMN面积的最大值为 3 分21.解：（1）函数 f（x）=（x 36x 2+3x+t）e x，则f（x）=（x 33x 29x+3+t）e x，函数f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为f（0）=3+t，由题意可得，3+t=4，解得，t=1；切线方程为：4x-y+1=0 3分（2） f（x
16、）=（x 33x 29x+3+t）e x，令g（x）=x 33x 29x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，页 10 第又g（x）=3x 26x9=3（x 22x3）=3（x+1）（x3）令g（x）=0得x=1或3 且g（x）在区间（，1），（3，+）递增，在区间（1，3）递减，故问题等价于 ，即有 ，解得，8t24； 6分 （3）不等式f（x）x，即（x 36x 2+3x+t）e xx，即txe x x 3+6x23x转化为存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式txe x x 3+6x23x恒成立即不等式0xe x x 3+6x23x在x1，m上恒成立即不等式0e x x 2+
17、6x3在x1，m上恒成立 8分设（x）=e x x 2+6x3，则（x）=e x 2x+6设r（x）=（x）=e x 2x+6，则r（x）=e x 2.因为1xm，有r（x）0，故r（x）在区间1，m上是减函数又r（1）=4e 1 0，r（2）=2e 2 0，r（3）=e 3 0故存在x 0（2，3），使得r（x 0）=（x 0）=0当1xx 0时，有（x）0，当xx 0时，有（x）0从而y=（x）在区间1，x 0上递增，在区间x 0，+）上递减又（1）=e 1 +40，（2）=e 2 +50，（3）=e 3 +60，（4）=e 4 +50，（5）=e 5 +20，（6）=e 6 30所以当1x5时，恒有（x）0；当x6时，恒有（x）0.故使命题成立的正整数m的最大值为5 12分22.解析：()由已知 sinco2xy， yxx12sin2，所以 1C： 2yx，2,x.3分由 )4sin(得， 2)cos(in2，所以 02yx5分()直线 2C： xy，设 1C上的点为 20(,1)x， 0x，则201xd2034x页 11 第328，当 012x时取等号，满足 02x，所以所求的最小距离为 328.10分23.解析：() ()(1)3f，3 分当且仅当 1x取等，所以 fx的最小值 m5分()根据柯西不等式： 21113()(1)(6 6abcabcabc10分
