1、第页 12018 届河南省中原名校高三高考预测金卷 数学（文）试题（解析版）第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合 ，根据交集的定义可得结果.【详解】利用绝对值不等式的解法化简集合 ，因为 ，所以 ，符合题意，所以集合 可能是 ，故选 D.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有
2、些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图2. 若复数在复平面内对应点为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的几何意义可得 ，结合复数的运算法则即可得结果.第页 2【详解】因为复数在复平面内对应点为 ，所以 ，可得 ，故选 C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出
3、错，造成不必要的失分.3. 函数 与 ，这两个函数在区间 上都是减函数，则实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数 在区间 上是减函数，可得 ，由函数 在区间 上是减函数，可得 ，从而可得结果.【详解】因为函数 在区间 上是减函数，函数 的图象是对称轴为 ，且开口向下的抛物线，所以 即 ，因为函数 在区间 上是减函数，所以 ，即 ，这两个函数在区间 上都是减函数，则实数 ，故选 D.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，复合函数的单调性，以及已知单调性求参数，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.4. 函数 的图象大致为（ ）第页 3A. B. C. D
4、. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，求出 时的函数值,利用排除法求解即可 .【详解】因为函数函数 是偶函数，所以函数图象关于 轴对称，可排除选项 ，由 ，可排除选项 ，故选 C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象5. 若将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数是偶函数，则 的最小正值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】第页 4利用辅助角公式化简函数解析式为 ，利用函
5、数平移法则可得 ，由奇偶性可得 ，从而可得结果.【详解】化简函数，向左平移 个单位可得 ，因为 是偶函数， ，由 可得的最小正值是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档题.已知的奇偶性求 时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数.6. 如图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将该几何体放入棱长为 的正方体中，由三视图可知该四面体为图中 ，根据正方体的性质可得结果.第页 5【详解】将该几何体放入边长为 的正方体中，由三视
6、图可知该四面体为 ，在正三角形 中， ，所以面积 ， ，该四面体的表面积为 ，故选 D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7. 已知向量， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）A. 1 B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由向
7、量， 的夹角为 ，且 ， ，可得的模及， 的数量积，将 平方，代入再开平方即可得结果.【详解】因为 ，第页 6所以 ，又因为， 的夹角为 ， ，所以 ，故选 C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3 ） 向量垂直则 ;(4)求向量的模（平方后需求 ）.8. 已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得点 到直线 距离的平方以及点 到
8、 距离的平方为最优解，进而可得结果.【详解】作出 表示的可行域，如图，第页 7目标函数 ，可看作可行域内的点 与 的距离的平方，由图可知，点 到直线 距离的平方，就是作可行域内的点与 的距离的平方的最小值，为 ，点 到 距离的平方，就是作可行域内的点与 的距离的平方的最小值，为 ，所以 的取值范围为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2 ）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 .9. 过抛物线 上的焦点 ，作直线与
9、抛物线交于 ， 两点，已知 ，则 （ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B【解析】【分析】，不仿设 ，由 ，求出直线 的方程与抛物线方程联立可得 坐标，结合抛物线定义可得结果.【详解】 ，不仿设 ，因为 ，由抛物线的定义可知， 等于 到抛物线 的准线 的距离，即 ，第页 8直线 ： 即为 ，与 可得， ，解得 ， ，故选 B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线
10、的距离，使问题得到解决.10. 已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，且线段 的中点 的横坐标为 1，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设 ,则有 ，利用点差法可得 ，从而可得结果.【详解】因为直线 与双曲线 交于 ， 两点，且线段 的中点 的横坐标为 ，所以 ， ，设 ,则有 ，第页 9，两式相减可化为，可得 ，双曲线的离心率为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法” ，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点坐标） ；代入（即代入圆锥曲线方程） ；作差（即两式相减，
11、再用平方差公式分解因式） ；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式） ，然后求解.11. 已知边长为 的菱形 ， ，沿对角线 把 折起，二面角 的平面角是 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积.【详解】如图所示，设菱形的对角线交于 ，由菱形的性质可 得，第页 10二面角 的平面角是因为菱形的边长为 ， ，设 ，则 ，由勾股定理可得，即 ，解得 ， ，四面体的外接球的表面积为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表
12、面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；若面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.12. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，若存在实数 使不等式 对于 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 ，令 ，可证明因此 先减后增， ，原不等式转化为 ，利用一次函数的性质可得结果.【详解】由 ，令，第页 11，而 是 上的增函数，因此 在 上递减，在 上递增，原不等式转化为 ，可得 ，构造函数 或 ，故选 D.【点睛】本题主要考查利用导
13、数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可) ； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 在区间 内随机地取出两个实数，则这两个实数之和小于 的概率是_【答案】【解析】【分析】所在区域是边长为 的正方形区域，面积为 ，直线 直线下正方形区域面积 ，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】取 ，所在区域是边长为 的正方形区域，面积为 ，直线 直线上正方形区域面积为 ，直线 直线下正方形区域面积由几
14、何概型概率公式可得，第页 12这两个实数之和小于 的概率是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3 ）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.14. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入，
15、，的值分别为 8，6，1，输出和的值，若正数 ， 满足 ，则 的最小值为_【答案】49【解析】【分析】模拟执行程序框图，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出和的值，然后利用基本不等式可得结果.【详解】输入， ，的值分别为 ， ， ；第一次循环， ；第二次循环， ；第页 13第三次循环， ；第四次循环， ；退出循环，输出 ，当 时，等号成立，即 的最小值为 ，故答案为 .【点睛】本题主要程序框图的应用、考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否
16、为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.15. 函数 的零点个数为_ 【答案】7【解析】【分析】函数 的零点个数等价于就是 与 图象交点个数，利用数形结合可得结果.【详解】函数 的零点个数，就是 与 图象交点个数，第页 14同一坐标系内作出 与 图象，如图，由图可知 与 图象有 个交点，所以函数 的零点个数为 ，故答案为 .【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种
17、等价形式：函数的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.16. 等差数列 的前 项和为 ，正数数列 是等比数列，且满足 ， ， ，数列 的前 项和为 ，若对于一切正整数 ， 都成立，则实数 的最小值为_【答案】10【解析】【分析】由 ， ， ， 可得关于等差数列首项 ，公差 ，等比数列首项 ，公比 的方程组，从而可得其通项公式，利用错位相减法可得 ，进而可得结果.【详解】 ， ， ， ，解得 ，第页 15，相减，恒成立， ，即 的最小值为 ，故答案为 .【点睛】 “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和
18、的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（1）求函数 的最大值；（2）已知 的面积为 ，且角 ， ， 的对边分别为， ，若 ， ，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为，可得函数 的最大值为 ；（2）由题意 ，化简得 ，从而得 ，由 ， ，求得 的值，根据余弦定理得 .第页 16【详解】 （1） ，函数
19、 的最大值为 .（2）由题意 ，化简得 . ， ， ， .由 得 ，又 ， ， 或 ， .在 中，根据余弦定理得 . .【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 2018 年上海国际青少年足球邀请赛将在 6 月下旬举行.一体育机构对某高中一年级 750 名男生，600 名女生采用分层抽样的方法抽取 45 名学生对足球进行兴趣调查，统计数据如下所
20、示：表 1：男生结果 有兴趣 无所谓 无兴趣人数 2 3表 2：女生结果 有兴趣 无所谓 无兴趣人数 12 2第页 17（1）求 ， 的值；（2）运用独立性检验的思想方法分析：请你填写 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 的前提下认为非“有兴趣”与性别有关系？男生 女生 总计有兴趣非有兴趣总计（3）从 45 人所有无兴趣的学生中随机选取 2 人，求所选 2 人中至少有一个女生的概率.附： ， .0.10 0.05 0.012.706 3.841 6.635【答案】(1) ， .(2)不能判定在犯错误的概率不超过 的前提下认为无兴趣与性别有关系.(3) .【解析】【分析】（1）由已知按比例
21、30 人选 1，男生 25 人女生 20 人， ， ；（2）由列联表，结合，可得不能判定在犯错误的概率不超过 的前提下认为无兴趣与性别有关系；（3）利用列举法，3 男 2 女，从中选取 2 人的等可能性基本事件有 10 种，其中至少有一个女生有 7 个基本事件，由古典概型概率公式可得结果.【详解】 （1）由已知按比例 30 人选 1，男生 25 人女 生 20 人， ， .第页 18（2）男生 女生 总计有兴趣 20 12 32非有兴趣 5 8 13总计 25 20 45，所以不能判定在犯错误的概率不超过 的前提下认为无兴趣与性别有关系.（3）无兴趣共 5 人 3 男 2 女，设 ，从中选取
22、2 人的等可能性基本事件有如下 10 种：， ， ， ， ， ， ， ， ，12；其中至少有一个女生有 7 个基本事件.所以所选 2 人中至少有一个女生的概率为 （或 ）.【点睛】独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2 ）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断. （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19. 如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.（1）求证： ；（2）若底面正方形边长为 2，且 平面 ，求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析;(2) .【解
23、析】第页 19【分析】（1）连 ，设 交 于 ，由题意 ，在正方形 中， ，所以 平面 ，得 ；（2）连 ，由（1）知 平面 ，所以 ，由 平面 ，知 ，所以 ，可得 到 的距离为 ，由 可得结果.【详解】 （1）连 ，设 交 于 ，由题意 .在正方形 中， ，所以 平面 ，得 .（2）由已知 边长为 的正三角形，则 ，又 ，所以 ，连 ，由（1）知 平面 ，所以 ，由 平面 ，知 ，所以 ，在 中， 到 的距离为 ，所以 .【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂
24、直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2 ）利用判定定理的推论 ；（3 ）利用面面平行的性质；（4 ）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知动点 到定点 的距离与 到定直线： 的距离比值是 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）曲线 与 轴交于 、 两点，直线 和 与直线： 分别交于点 ， ，试探究以 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由.【答案】(1) ;(2)见解析 .【解析】【分析】第页 20（1）设 ，由已知 ，化简即可得点 的轨迹 的方程；（2 ）不妨设 、 ，先证明 ，设 ： ，可得 ： ，求得
25、， ，以 ， 为直径的圆为 ，令 ， ， ，从而可得结论.【详解】 （1）设 ，由已知 ，两边平方化简得 ，点 的轨迹 的方程是 .（2）不妨设 、 ，则 ，设 ： ， ： ，所以 ， ，以 ， 为直径的圆是 ，即 ，令 ， ， ，以 ， 为直径的圆恒过 和 .【点睛】本题主要考查轨迹法求椭圆方程曲线过定点问题，属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种： 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为 的形式，根据求解） ，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21. 已知定义在
26、正实数集上的函数 .（1）若函数 ，在其定义域上 恒成立，求实数的最小值；（2）若时 ， 在区间 的最小值为-2，求实数 的取值范围.第页 21【答案】(1)-1;(2) .【解析】【分析】（1） ，等价于 ，设 ，利用导数可得 ，递增， ， 递减，只需 ，即可的结果；（2）分三种情况讨论，当 ， ， ， ， 递增， ，符合题意，可证明当 舍去，当 ， ， 单调递减， 舍去，从而可得结果.【详解】 （1） ，因为 ， ，设 ， ，所以 ， ， 递增， ， ， 递减，因此 ， 可得 ，综上实数的最小值-1.（2） ， ， ，当 ， ， ， ， 递增， 符合题意，当 ， ， ， 单调递减， ， 单
27、调递增；舍去，当 ， ， 单调递减， 舍去，综上实数的取值范围 .【点睛】求函数 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域； (2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5 ）如果只有一个极值点，第页 22则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数
28、方程已知直线的参数方程为 （为参数） ，曲线 的极坐标方程为 ，直线与曲线 交于、 两点，点 .（1）求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）求 的值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】【试题分析】 （1）借助题设条件，将参数方程化为直角坐标方程及借助直角坐标与极坐标之间的关系进行转化；（2）依据题设参数的几何意义分析求解：（1）直线的普通方程 ，曲线 的直角坐标方程为 ，（2）直线的参数方程改写为 ，代入 ， ， ，.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）已知函数 ，若 的最小值为 1，求实数 的值.【答案】(1) ;(2) 或-3.【解析】【分析】（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2 ）第页 23，所以 ，从而可得结果.【详解】 （1）当 时， ，原不等式等价于 ， ， ，解得 ，原不等式的解集为 .（2） ，所以 ， 或-3.【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
