高二数学-南通中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题.doc

1、1江苏省南通中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1计算： 2i2函数 f(x) 的单调增区间是 ln xx3已知复数 z=(2i) i，则 z 的模为 4曲线 在点 处的切线方程为 sny3(,)25如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为 na6已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 ()fx()fx 2()3()fxxf(3)f7已知复数 ，则 的取值范围是 2sin3izz8若函数 是 R 上的单调函数，则实数 m32()fx

2、mx的取值范围为 9如图为函数 的图象， 为函数32()fabcd()fx的导函数，则不等式 的解集为 ()fx()0xf10设 P 是函数 y (x1)图象上异于原点的动点，且该图象x在点 P 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是 11已知定义域为 的函数 对于任意的 x 都满足 若 0”， “”， “=”中选择正确的一个填写） 12设直线 ya 分别与曲线 y2x 和 ye x 交于点 M，N，则当线段 MN 取得最小值时实数a 的值为 13已知点 ， 是函数 的图象上任意不同的两点，依据图象可知，21(,)Ax2(,)B2线段 总是位于 ， 两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用

3、类比思想方法可知若点 ， 是函数2211 1(,lg)Ax2(,lg)BxxOy3 （第 9 题）2的图象上的不同两点，则类似地有 成立lg(0)yx14若不等式|ax 3ln x |1 对任意 x (0，1都成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题共 14 分）已知复数 （ ） 2276(56)i1azaaR（1）求实数 为何值时，z 为实数；（2）求实数 为何值时，z 为虚数；（3）求实数 为何值时，z 为纯虚数a16 （本小题共 14 分）已知曲线 C：

4、与直线 相切，其中 e 为自然对数的底数exyae3yx（1）求实数 a 的值；（2）求曲线 C 上的点 P 到直线 的距离的最小值，并求出取得最小值时点 P4的坐标17 （本小题共 14 分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查投入广告费 t(百万元) ，可增加销售额约为t 25t (百万元)(0t 5) (注：收益销售额投放)（1）若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费 x(百万元)，可增加的销售额约为 x3x 23

5、x(百万元) 请设计一个13资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大318 （本小题共 16 分）（理）已知数列 的前 n 项和 na2nnSa()N（1）计算数列 的前 4 项；（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明n（文）求证：1， ，3 不可能是一个等差数列中的三项219 （本小题共 16 分）已知函数 ，其中 ， 32()461fxtxtxRt（1）当 时，求 的单调区间；0t()f（2）证明：对任意的 ，函数 在区间 内均存在零点0,t()fx(0,1)20. （本小题共 16 分）已知 ，函数 ，e 为自然对数的底数aR()ln(1)fxax（1）若 ，求函数 取得极值时所

6、对应的 x 的值；1eyf（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围2(e)()exaxf a4江苏省南通中学 20142015 学年度第一学期期末考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）.15. （本题满分 14 分）516. （本题满分 14 分）17. （本题满分 14 分）18. （本题满分 16 分）619

7、. （本题满分 16 分）20. （本题满分 16 分）78江苏省南通中学 20142015 学年度第一学期期末考试高二数学答案9 10 11(,3)(0,)3，2)12 13 14a22 1212lglgxxe23二、解答题：15解：（1）当 z 为实数时，则 解得 .2560,1a6a所以，当 时，z 为实数6a（2）当 z 为虚数时，则 解得 2560,1a6,1a所以，当 且 时，z 为虚数6a（3）当 z 为纯虚数时，则 解得 250,761,a1a所以，当 时，z 为纯虚数1a16解：（1）设曲线 C： 与直线 相切的切点的横坐标为 ，exyae3yx1x由 得切线的斜率 = ，e

8、xy1所以 ，所以切点坐标为 ，1 (,)代入直线 得 .3xa（2）由（1）得曲线 C 的方程为： ，e3xy9当过点 P 的切线与直线 平行时，点 P 到直线 的距离最小，4yx4yx设点 P 的横坐标为 ，由 得切线的斜率 =1，2e2ex所以 ，20x所以所求点 P 的坐标为 ，所求距离的最小值为 (1,3)314217解：(1)设投入 t(t 百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元)，则有 f(t)(t 25t)tt 24t ( t2) 24(0 t 3)，所以当 t2 百万元时，f(t)取得最大值 4 百万元即投入 2 百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设

9、用技术改造的资金为 x(百万元) ，则用于广告促销的资金为(3x )(百万元)，则有 g(x) (3x) 25(3x)3 x34x 3(0x3)( 13x3 x2 3x) 13所以 g(x)x 24.令 g(x)0，解得 x2，或 x2(舍去) 又当 0x2 时，g (x)0，当 2x3 时，g(x)0故 g(x)在0,2上是增函数，在2,3上是减函数所以当 x2 时，g( x)取最大值，即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大18 （理）解：（1）由 ，得 112aa由 ，得 23由 ，得 1233374由 ，得 4aa158a（2）猜想 12n下面用

10、数学归纳法证明： 时，左边 ，右边 ，猜想成立1n1a12n假设当 时，猜想成立，即 ，此时 k1ka 122kkkSa则当 时，由 ，12()kkS得 ，1()kSa所以 11()22kkk 因此，当 时，等式也成立n由可知， 对 均成立1na*N（文）证明：假设 1， ，3 为同一等差数列中的三项，210则存在两个不相等的整数 ， 以及实数 ，使得 ， mnd21md31n所以 21n因为上式左边为无理数，右边为有理数，所以等式不成立，所以假设不成立，即 1， ，3 不可能是同一等差数列中的三项219 （1）解： ，令 ，解得 或 22()16fxtx()0fxxt2t因为 ，以下分两种情

11、况讨论：0t若 ，则 ，列表如下：2tx,t,2t,t()f+ - + 所以， 的单调增区间是 ，单调减区间是 ()fx,2t,2t若 ，则 ，列表如下：0t2tx,t,2t,()f+ - + 所以， 的单调增区间是 ，单调减区间是 ()fx,2t,2t（2）证明：由（1）可知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递0t()fx0,t ,t增，以下分两种情况讨论：当 即 时， 在 内单调递减，12t t ()fx,1， ，(0)f264364230t所以对任意 ， 在区间 内均存在零点,)t(f(0,)当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，12)xt,1t若 ， ，(0,t337710

12、44tftt2(1)66230t所以 在 上存在零点fx,t若 ， ， (,2)t3377144tftt()1ft11所以 在 上存在零点()fx0,2t所以，对任意 ， 在区间 内均存在零点(,)t(fx(0,1)综上所述，对任意 ， 在区间 内均存在零点)说明：（2）中 也可通过求导证明其恒小于 0371,(2,24tftt20解：（1）若 ，则 ， ea1)lnexf1()efx当 时， ， 单调递增；(0,1)x(0x()f当 时， ， 单调递减)fx又因为 ， ，()f(e当 时， ；当 时， ；0,1x)0fx(1,e)()0fx当 时， ；当 时， (e(x故 取得极值时所对应的 x 值为 1， 和 |)|yf e（2）不等式 ，整理为 2(1e)(eax 2(1)ln0axx设 ，2)lnagx则 （其中 ） 21(ex22(1)eaxx2(e)ax0x当 时， ， ，0a 0当 时， ， 为单调增函数；(,e)x()gx()当 时， ， 为单调减函数gx所以， max()(e)012