1、1江苏省南通中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1计算: 2i2函数 f(x) 的单调增区间是 ln xx3已知复数 z=(2i) i,则 z 的模为 4曲线 在点 处的切线方程为 sny3(,)25如图所示四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一个通项公式为 na6已知函数 的导函数为 ,且满足 ,则 ()fx()fx 2()3()fxxf(3)f7已知复数 ,则 的取值范围是 2sin3izz8若函数 是 R 上的单调函数,则实数 m32()fx
2、mx的取值范围为 9如图为函数 的图象, 为函数32()fabcd()fx的导函数,则不等式 的解集为 ()fx()0xf10设 P 是函数 y (x1)图象上异于原点的动点,且该图象x在点 P 处的切线的倾斜角为 ,则 的取值范围是 11已知定义域为 的函数 对于任意的 x 都满足 若 0”, “”, “=”中选择正确的一个填写) 12设直线 ya 分别与曲线 y2x 和 ye x 交于点 M,N,则当线段 MN 取得最小值时实数a 的值为 13已知点 , 是函数 的图象上任意不同的两点,依据图象可知,21(,)Ax2(,)B2线段 总是位于 , 两点之间函数图象的上方,因此有结论成立.运用
3、类比思想方法可知若点 , 是函数2211 1(,lg)Ax2(,lg)BxxOy3 (第 9 题)2的图象上的不同两点,则类似地有 成立lg(0)yx14若不等式|ax 3ln x |1 对任意 x (0,1都成立,则实数 a 的取值范围是 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请注意文理科类,并在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题共 14 分)已知复数 ( ) 2276(56)i1azaaR(1)求实数 为何值时,z 为实数;(2)求实数 为何值时,z 为虚数;(3)求实数 为何值时,z 为纯虚数a16 (本小题共 14 分)已知曲线 C:
4、与直线 相切,其中 e 为自然对数的底数exyae3yx(1)求实数 a 的值;(2)求曲线 C 上的点 P 到直线 的距离的最小值,并求出取得最小值时点 P4的坐标17 (本小题共 14 分)某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销经调查投入广告费 t(百万元) ,可增加销售额约为t 25t (百万元)(0t 5) (注:收益销售额投放)(1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入 3 百万元,分别用于广告促销和技术改造经预测,每投入技术改造费 x(百万元),可增加的销售额约为 x3x 23
5、x(百万元) 请设计一个13资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大318 (本小题共 16 分)(理)已知数列 的前 n 项和 na2nnSa()N(1)计算数列 的前 4 项;(2)猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法证明n(文)求证:1, ,3 不可能是一个等差数列中的三项219 (本小题共 16 分)已知函数 ,其中 , 32()461fxtxtxRt(1)当 时,求 的单调区间;0t()f(2)证明:对任意的 ,函数 在区间 内均存在零点0,t()fx(0,1)20. (本小题共 16 分)已知 ,函数 ,e 为自然对数的底数aR()ln(1)fxax(1)若 ,求函数 取得极值时所
6、对应的 x 的值;1eyf(2)若不等式 恒成立,求 的取值范围2(e)()exaxf a4江苏省南通中学 20142015 学年度第一学期期末考试高二数学答题纸一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题:(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内).15. (本题满分 14 分)516. (本题满分 14 分)17. (本题满分 14 分)18. (本题满分 16 分)619
7、. (本题满分 16 分)20. (本题满分 16 分)78江苏省南通中学 20142015 学年度第一学期期末考试高二数学答案9 10 11(,3)(0,)3,2)12 13 14a22 1212lglgxxe23二、解答题:15解:(1)当 z 为实数时,则 解得 .2560,1a6a所以,当 时,z 为实数6a(2)当 z 为虚数时,则 解得 2560,1a6,1a所以,当 且 时,z 为虚数6a(3)当 z 为纯虚数时,则 解得 250,761,a1a所以,当 时,z 为纯虚数1a16解:(1)设曲线 C: 与直线 相切的切点的横坐标为 ,exyae3yx1x由 得切线的斜率 = ,e
8、xy1所以 ,所以切点坐标为 ,1 (,)代入直线 得 .3xa(2)由(1)得曲线 C 的方程为: ,e3xy9当过点 P 的切线与直线 平行时,点 P 到直线 的距离最小,4yx4yx设点 P 的横坐标为 ,由 得切线的斜率 =1,2e2ex所以 ,20x所以所求点 P 的坐标为 ,所求距离的最小值为 (1,3)314217解:(1)设投入 t(t 百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元),则有 f(t)(t 25t)tt 24t ( t2) 24(0 t 3),所以当 t2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元即投入 2 百万元时的广告费时,该公司由此获得的收益最大(2)设
9、用技术改造的资金为 x(百万元) ,则用于广告促销的资金为(3x )(百万元),则有 g(x) (3x) 25(3x)3 x34x 3(0x3)( 13x3 x2 3x) 13所以 g(x)x 24.令 g(x)0,解得 x2,或 x2(舍去) 又当 0x2 时,g (x)0,当 2x3 时,g(x)0故 g(x)在0,2上是增函数,在2,3上是减函数所以当 x2 时,g( x)取最大值,即将 2 百万元用于技术改造, 1 百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大18 (理)解:(1)由 ,得 112aa由 ,得 23由 ,得 1233374由 ,得 4aa158a(2)猜想 12n下面用
10、数学归纳法证明: 时,左边 ,右边 ,猜想成立1n1a12n假设当 时,猜想成立,即 ,此时 k1ka 122kkkSa则当 时,由 ,12()kkS得 ,1()kSa所以 11()22kkk 因此,当 时,等式也成立n由可知, 对 均成立1na*N(文)证明:假设 1, ,3 为同一等差数列中的三项,210则存在两个不相等的整数 , 以及实数 ,使得 , mnd21md31n所以 21n因为上式左边为无理数,右边为有理数,所以等式不成立,所以假设不成立,即 1, ,3 不可能是同一等差数列中的三项219 (1)解: ,令 ,解得 或 22()16fxtx()0fxxt2t因为 ,以下分两种情
11、况讨论:0t若 ,则 ,列表如下:2tx,t,2t,t()f+ - + 所以, 的单调增区间是 ,单调减区间是 ()fx,2t,2t若 ,则 ,列表如下:0t2tx,t,2t,()f+ - + 所以, 的单调增区间是 ,单调减区间是 ()fx,2t,2t(2)证明:由(1)可知,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递0t()fx0,t ,t增,以下分两种情况讨论:当 即 时, 在 内单调递减,12t t ()fx,1, ,(0)f264364230t所以对任意 , 在区间 内均存在零点,)t(f(0,)当 即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,12)xt,1t若 , ,(0,t337710
12、44tftt2(1)66230t所以 在 上存在零点fx,t若 , , (,2)t3377144tftt()1ft11所以 在 上存在零点()fx0,2t所以,对任意 , 在区间 内均存在零点(,)t(fx(0,1)综上所述,对任意 , 在区间 内均存在零点)说明:(2)中 也可通过求导证明其恒小于 0371,(2,24tftt20解:(1)若 ,则 , ea1)lnexf1()efx当 时, , 单调递增;(0,1)x(0x()f当 时, , 单调递减)fx又因为 , ,()f(e当 时, ;当 时, ;0,1x)0fx(1,e)()0fx当 时, ;当 时, (e(x故 取得极值时所对应的 x 值为 1, 和 |)|yf e(2)不等式 ,整理为 2(1e)(eax 2(1)ln0axx设 ,2)lnagx则 (其中 ) 21(ex22(1)eaxx2(e)ax0x当 时, , ,0a 0当 时, , 为单调增函数;(,e)x()gx()当 时, , 为单调减函数gx所以, max()(e)012