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江苏省苏州市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

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1、第 1 页(共 20 页)2016-2017 学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分1已知集合 A=1,0,1,B= 0,1,2,则 A B= 2已知 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x )=x +1,则 f( 1)= 3若 tan=3, ,则 tan( )等于 4已知 A(3,4) 、B (5, 2) ,则| |= 5函数 y=e2x1 的零点是 6把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变) ,再将图象上所有点向右平移 个单位,所得函数图象所对应的解析式为 7若函数 f(x)= ,则 f(lo

2、g 23)= 8函数 的单调递增区间为 9设 是两个不共线向量, , , ,若 A、B、D三点共线,则实数 P 的值是 10若 = ,则 sin2的值为 11f(x)=x 2,若对任意的 xt,t+2,不等式 f(x +t)2f(x )恒成立,则实数 t 的取值范围是 12如图,O 是坐标原点, M、N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则 的范围为 第 2 页(共 20 页)13如图,将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点落在矩形的左边上,若,则折痕 l 的长度= cm14函数 是奇函数,且 f(2)f(x )f(2) ,则a= 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分15已知

3、=(1,2) , =( 3,1) ()求 ;()设 的夹角为 ,求 cos的值;()若向量 与 互相垂直,求 k 的值16已知 , , , ( I)求 tan2的值;( II)求 的值17已知函数 f(x )满足 f(x+1)=lg(2+x ) lg(x) (1)求函数 f(x)的解析式及定义域;(2)解不等式 f(x)1;(3)判断并证明 f(x)的单调性18某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不低于 51 元(1)当一次订购量为

4、多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?第 3 页(共 20 页)(2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购多少个时,该厂获得的利润为 6000 元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本)19如图 1,在ABC 中, , ,点 D 是 BC 的中点( I)求证: ;( II)直线 l 过点 D 且垂直于 BC,E 为 l 上任意一点,求证: 为常数,并求该常数;( III)如图 2,若 ,F 为线段 AD 上的任意一点,求 的范围20已知 g(x )=x 22ax+1 在区间1,3上的值域0,4(1)求 a

5、的值;(2)若不等式 g(2 x)k4 x0 在 x1,+)上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)若函数 有三个零点,求实数 k 的取值范围第 4 页(共 20 页)2016-2017 学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分1已知集合 A=1,0,1,B= 0,1,2,则 A B= 0,1 【考点】交集及其运算【分析】利用交集的性质求解【解答】解:集合 A=1,0 ,1,B= 0,1 ,2,AB=0,1故答案为:0,12已知 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x )=x +1,则 f( 1)= 2 【考点】

6、函数的值【分析】由题意得当 x 0 时,f (x)=x+1,由此能求出 f( 1) 【解答】解:f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x )=x +1,当 x0 时,f(x)=x+ 1,f( 1)=(1)+1=2故答案为:23若 tan=3, ,则 tan( )等于 【考点】两角和与差的正切函数【分析】由正切的差角公式 tan( )= 解之即可第 5 页(共 20 页)【解答】解:tan()= = = ,故答案为 4已知 A(3,4) 、B (5, 2) ,则| |= 10 【考点】平面向量坐标表示的应用【分析】由题意,已知 A( 3,4) 、B(5, 2) ,将此两点坐标代入向量求模的公式,计

7、算即可得到| |的值【解答】解:由题意 A( 3,4) 、B(5, 2) ,| |= = =10故答案为 105函数 y=e2x1 的零点是 0 【考点】函数的零点【分析】令 y=0,求出 x 的值,即函的零点即可【解答】解:令 y=0,即 e2x=1,解得:x=0 ,故答案为:06把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变) ,再将图象上所有点向右平移 个单位,所得函数图象所对应的解析式为 y=sin(2x ) 【考点】函数 y=Asin(x+ )的图象变换【分析】把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ,得到 y=sin2x,再函数y=sinx 的图象上所有点向右平

8、移 个单位,得到 y=sin2(x ),写出要求第 6 页(共 20 页)的结果【解答】解:把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ,得到 y=sin2x,再函数 y=sin2x 的图象上所有点向右平移 个单位,得到 y=sin2(x )=sin(2x )对图象,所求函数的解析式为:y=sin(2x ) 故答案为:y=sin(2x ) 7若函数 f(x)= ,则 f(log 23)= 9 【考点】函数的值【分析】由 log23log 22=1,得到 f(log 23)= ,由此利用对数性质及运算法则能求出结果【解答】解:函数 f(x )= ,log23log 22=1,f( log23)= = =

9、9故答案为:98函数 的单调递增区间为 【考点】复合三角函数的单调性【分析】令 2k 2x 2k+ ,kz ,求得 x 的范围,即可得到函数的第 7 页(共 20 页)增区间【解答】解:令 2k 2x 2k + ,k z,求得 k xk+ ,kz,故函数的增区间为 故答案为 9设 是两个不共线向量, , , ,若 A、B、D三点共线,则实数 P 的值是 1 【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】要求三点共线问题,先求每两点对应的向量,然后再按两向量共线进行判断,本题知道 ,要根据 和 算出 ,再用向量共线的充要条件【解答】解: , ,A、B、D 三点共线, ,2=2,p= p=1,故答案

10、为:110若 = ,则 sin2的值为 【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦第 8 页(共 20 页)【分析】由三角函数公式化简已知式子可得 cossin=0或 cos+sin= ,平方可得答案【解答】解: = ,2cos2= sin( ) ,2(cos 2sin2)=cos sin,cossin=0,或 cos+sin= ,平方可得 1sin2=0,或 1+sin2= ,sin2=1,或 sin2= ,若 sin2=1,则 cos2=0,代入原式可知应舍去,故答案为: 11f(x)=x 2,若对任意的 xt,t+2,不等式 f(x +t)2f(x )恒成立,则实数 t 的

11、取值范围是 ( , ,+) 【考点】函数恒成立问题【分析】问题转化为|x+t| x|在t,t +2恒成立,去掉绝对值,得到关于 t的不等式,求出 t 的范围即可【解答】解:f(x)=x 2,x t,t+2,不等式 f(x +t)2f(x)=f ( x)在t ,t+2恒成立,即|x+t| x|在t,t +2恒成立,即:x(1+ )t 在t,t+2恒成立,或 x(1 )t 在t ,t+2恒成立,第 9 页(共 20 页)解得:t 或 t ,故答案为:(, ,+) 12如图,O 是坐标原点, M、N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则 的范围为 0. ) 【考点】向量在几何中的应用【分析】

12、设 的夹角为 , ,则 cos1,0) , 2=2+2cos即可【解答】解:设 的夹角为 , ,则 cos1,0) ,2= =2+2cos0,2)的范围为:0, ) ,故答案为0, ) 13如图,将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点落在矩形的左边上,若,则折痕 l 的长度= cm【考点】三角形中的几何计算第 10 页(共 20 页)【分析】根据图形判断直角三角形,利用直角三角形求解AE=GEcos2=lsincos2,由 AE+BE=lsincos2+lsin=6,求解即可【解答】解:由已知及对称性知,GF=BF=lcos ,GE=BE=lsin,又GEA=GFB=2,AE=GEcos2=l

13、sincos2,又由 AE+BE=lsincos2+lsin=6得:l= = 故答案为: 14函数 是奇函数,且 f(2)f(x )f(2) ,则a= 【考点】函数奇偶性的性质【分析】由 f(0)=0 可求 c,根据 f(2)f(x) f (2) ,利用基本不等式,即可得出结论【解答】解:函数 是奇函数且定义域内有 0f( 0)=0解得 c=0,故 f(x)= 第 11 页(共 20 页)x0,a0,f(x)= = (ax= 时取等号)f( 2)f(x)f(2) ,2a= ,a= 故答案为 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分15已知 =(1,2) , =( 3,1) ()求 ;()设

14、 的夹角为 ,求 cos的值;()若向量 与 互相垂直,求 k 的值【考点】平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】 ()利用两个向量坐标形式的加减运算法则,进行运算() 把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算()因为向量 与 互相垂直,所以,它们的数量积等于 0,解方程求得 k 的值【解答】解:() =(1,2)2( 3,1)= (1+6,2 2)= (7,0) () = ()因为向量 与 互相垂直,所以, ( )( )=0 ,即因为 =5, ,所以, 510k2=0,解得 16已知 , , , ( I)求 tan2的值;( II)求 的值第 12 页(共

15、20 页)【考点】两角和与差的正切函数【分析】 (I)由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin,tan,进而利用二倍角的正切函数公式即可求得 tan2(II)由已知可求范围 +( , ) ,利用同角三角函数基本关系式可求cos(+)的值,进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解 cos的值,结合范围 ,可求 = 【解答】 (本题满分为 14 分)解:( I) , ,可得: sin = ,2分tan = =2 ,4 分tan2= = 7 分( II) , ,+( , ) ,又 ,cos(+)= = ,9 分cos=cos( +)=cos (+)cos +sin( +)sin= ( )( )+

16、( )= , ,= 14 分17已知函数 f(x )满足 f(x+1)=lg(2+x ) lg(x) 第 13 页(共 20 页)(1)求函数 f(x)的解析式及定义域;(2)解不等式 f(x)1;(3)判断并证明 f(x)的单调性【考点】指、对数不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法【分析】 (1)可令 t=x+1,则 x=t1,代入可得 f(t) ,即 f(x )的解析式;再由对数的真数大于 0,可得函数的定义域;(2)运用对数的运算性质和对数函数的单调性,可得不等式,解不等式可得解集;(3)f(x )在(1,1)上为增函数由单调性定义,分设值、作差、变形和定符号、下结论,注意运用对数函

17、数的性质,即可得证【解答】解:(1)f(x+ 1)=lg(2+x)lg (x) ,可令 t=x+1,则 x=t1,可得 f(t)=lg(1+t)lg(1t) ,即有 f( x)=lg(1+x)lg(1x) ,由 1+x0 且 1x0,解得 1x 1,则函数 f(x )的定义域为( 1,1) ;(2)由 f(x)1 即 lg(1+x ) lg(1 x)1,即为 lg(1+x)lg10(1x ) ,可得 01+x10(1x) ,解得1x ,则不等式的解集为(1, ) ;(3)证明:f(x)在(1,1)上为增函数理由:设1mn1,则 f(m)f(n )=lg(1+m)lg (1m)lg(1+n)lg

18、(1 n)第 14 页(共 20 页)=lg lg =lg =lg ,由于1mn1,可得 1m1 n0,1+n 1+m0,可得 0 1,0 1,则 0 1,即有 lg 0,则 f(m)f(n)0,即 f(m )f (n ) ,故 f(x)在(1,1)上为增函数18某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不低于 51 元(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?(2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 p

19、 元,写出函数 p=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购多少个时,该厂获得的利润为 6000 元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本)【考点】函数模型的选择与应用;分段函数的应用【分析】 (1)根据当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,可求得一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元;(2)函数为分段函数,当 0x 100 时,p 为出厂单价;当 100x 550 时,;当 x550 时,p=51,故可得结论;(3)根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本,求出利润函数,利用利润为 6000 元

20、,可求得结论【解答】解:(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时,一次订购量第 15 页(共 20 页)为 x0 个,则 (个)因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元(2 )当 0x100 时,p=60;当 100x 550 时, ;当 x550 时,p=51所以 (3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则当 0x100 时,L2000;当 x500 时,L6050 ; 当 100x 550 时, 由 ,解得 x=500答:当销售商一次订购 500 个时,该厂获得的利润为 6000 元19如图 1,在ABC 中, , ,

21、点 D 是 BC 的中点( I)求证: ;( II)直线 l 过点 D 且垂直于 BC,E 为 l 上任意一点,求证: 为常数,并求该常数;( III)如图 2,若 ,F 为线段 AD 上的任意一点,求 的范围第 16 页(共 20 页)【考点】向量在几何中的应用【分析】 ( I)延长 AD 到 A1 使得 AD=DA1,连接 CA1,A 1B,证明四边形 ACA1B是平行四边形,即可证明: ;( II)证明 ( )=( + ) ( ) = + ,即可得出:为常数,并求该常数;(III)确定 ( + )=2x( x) ,利用基本不等式,求 的范围【解答】 (I)证明:延长 AD 到 A1 使得

22、 AD=DA1,连接 CA1,A 1B,D 是 BC 的中点,四边形 ACA1B 是平行四边形, = + , ;(II)证明: = + , ( )= ( + ) ( )= + ,DEBC, =0, = ( ) = , ( )=(III)解:ABC 中,| |=2,| |=1,cosA= , ,第 17 页(共 20 页)| |= = ,同理 + =2 , ( + )= 2 =| | |,设| |=x,则 | |= x(0 ) , ( + )=2x( x)2 =1,当且仅当 x= 时取等号, ( + ) (0,120已知 g(x )=x 22ax+1 在区间1,3上的值域0,4(1)求 a 的值

23、;(2)若不等式 g(2 x)k4 x0 在 x1,+)上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)若函数 有三个零点,求实数 k 的取值范围【考点】函数恒成立问题;根的存在性及根的个数判断【分析】 (1)对 g(x)配方,求出对称轴 x=a,讨论若 1a3 时,若 a3 时,若 a1,由单调性可得最小值,解方程,即可得到所求 a 的值;第 18 页(共 20 页)(2)由题意可得(2 x) 222x+1k4x0,化为 k (2 x) 222x+1,令 t=2x,求出 t 的范围,求得右边函数的最小值即可得到 k 的范围;(3)令 y=0,可化为|2 x1|22|2x1|+1+2k3k|2x1|=

24、0(|2 x1|0)有 3 个不同的实根令 t=|2x1|,讨论 t 的范围和单调性,t 2(3k +2)t+1+2k=0 有两个不同的实数解 t1,t 2,已知函数有 3 个零点等价为 0t 11,t 21 或0t 1 1,t 2=1,记 m(t)=t 2(3k +2)t+1+2k,由二次函数图象可得不等式组,解不等式可得 k 的范围【解答】解:(1)g(x)=x 22ax+1=(xa) 2+1a2 在区间1,3上的值域0,4 若 1a3 时,g (x )的最小值为 g(a)=1a 2,由 1a2=0,可得 a=1(1 舍去) ,g (x )=(x1) 2 满足在区间1,3上的值域0,4 ;

25、若 a3 时,g (x )在1,3递减,g(x)的最小值为 g(3) ,由 g( 3)=106a=0,解得 a= (舍去) ;若 a1,则 g(x )在1,3递增,g(x)的最小值为 g(1) ,由 g( 1)=22a=0,解得 a=1综上可得,a=1;(2)由 g(2 x)k4 x0 即(2 x) 222x+1k4x0,化为 k(2 x) 222x+1,令 t=2x,由 x1 可得 0t ,则 kt 22t+1,0t ,记 h(t)=t 22t+1,0t ,由单调递减,可得 h(t )的最小值为( 1)第 19 页(共 20 页)2= ,则 k 的取值范围是 k ;(3)令 y=0,可化为|

26、2 x1|22|2x1|+1+2k3k|2x1|=0(|2 x1|0)有 3 个不同的实根令 t=|2x1|,则 t0,由 2x11,当 x0 时,t=|2 x1|=12x,t(0,1且递减,当 0x1 时,t=|2 x1|=2x1,t(0,1)且递增,当 x=1 时,t=1当 x1 时,t= |2x1|=2x1,t(1,+)且递增,t2( 3k+2)t+1+2k=0 有两个不同的实数解 t1,t 2,已知函数有 3 个零点等价为 0t 11,t 21 或 0t 11,t 2=1,记 m(t)=t 2(3k+2)t+1+2k,则 或 ,解得 k0 或 k 无实数解,综上可得,k 的取值范围是(0,+) 第 20 页(共 20 页)2017 年 2 月 28 日

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