1、专题限时集训(八) 直线与圆(建议用时：60 分钟)一、选择题1已知圆(x2) 2(y1) 216 的一条直径通过直线 x2y30 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A3xy50 Bx2y0Cx2y 40 D2xy30D 直 线 x2y 30 的斜率 为 ，已知 圆的圆心坐标为(2，1)，该直径所在12直线的斜率为2，所以该 直径所在的直线方程为 y12( x2)，即2xy30，故选 D.2(2018昆明模拟 )已知直线 l：y xm 与圆 C：x 2(y3) 26 相交于3A，B 两点，若 ACB 120，则实数 m 的值为( )A3 或 3 B32 或 326 6 6 6C9
2、 或 3 D8 或2A 由 题意可得，圆心(0,3)到直线的距离为 ，所以62d ，m3 ，选 A.|m 3|2 62 63(2018大同模拟 )以抛物线 y220x 的焦点为圆心，且与双曲线 1x216 y29的两条渐近线都相切的圆的方程为( )Ax 2y 220x640 Bx 2y 220 x360Cx 2y 210x 160 Dx 2y 210x90C 抛物线 y220x 的焦点 F(5,0)，所求圆的圆心(5,0)，双曲线 1 的两条 渐近线 分别为 3x4y0， 圆心 (5,0)到直线 3x4y0 的距离即x216 y29为所求圆的半径 R，R 3， 圆的方程为( x 5)2y 29
3、，即155x2y 210x 160，故选 C.4(2018重庆模拟 )已知直线 l：x ay10(aR)是圆C：x 2 y24x 2y10 的对称轴，过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为B，则| AB|( )A2 B4 2C6 D2 10C 圆 C 的标准方程为(x2) 2(y1) 24，圆心为 C(2,1)，半径为 r2，因此 2a110，a 1，即 A(4，1)，| AB| |AC|2 r26，选 C. 4 22 1 12 45(2018忻州模拟 )过点(3,1)作圆(x1) 2y 2r 2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A2xy50 B2xy7 0Cx2y 50 D
4、x2y70B 过点(3,1) 作圆(x 1) 2y 2r 2 的切线有且只有一条，点(3,1)在圆 (x1) 2y 2r 2 上，圆心与切点连线的斜率 k ，1 03 1 12切线的斜率为2，则圆的切线方程为 y1 2(x3)，即 2xy70.故选 B.6(2018泰安模拟 )一条光线从点( 2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y 2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A 或 B 或53 35 32 23C 或 D 或54 45 43 34D 圆 (x3) 2( y2) 21 的圆心为(3,2) ，半径 r1.(2，3)关于 y 轴的对称点为(2 ，3)如图所示，反射光线一
5、定过点(2 ， 3)且斜率 k 存在，反射光线所在直线方程为 y3 k(x2)，即 kxy2k 30.反射光线与已知圆相切， 1，整理得 12k225k120，解得 k 或 k .| 3k 2 2k 3|k2 12 34 437(2018安阳模拟 )已知圆 C1：x 2y 2kx 2y 0 与圆C2：x 2y 2ky40 的公共弦所在直线恒过定点 P(a，b)，且点 P 在直线mx ny20 上，则 mn 的取值范围是( )A. B.(0，14) (0，14C. D.( ，14) ( ，14D x2y 2 kx2y 0 与 x2y 2ky40，相减得公共弦所在直线方程：kx(k2)y 40，即
6、 k(xy)(2y4) 0，所以由Error!得 x2，y 2，即P(2， 2)，因此 2m2n 20， mn1，mn 2 ，选 D.(m n2 ) 148(2018合肥模拟 )设圆 x2y 22x2y20 的圆心为 C，直线 l 过(0,3)与圆 C 交于 A，B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方程为( )3A3x4y120 或 4x3y90B3x4y 120 或 x0C4x3y 90 或 x0D3x4y120 或 4x3y90B 圆的标准方程为(x 1) 2(y1) 24，设圆心到直线 l 的距离为 d，则|AB|2 2 2 ，得 d1， 则直线 l 的斜率不存在时，即 x0 适合
7、r2 d2 4 d2 3题意；若直线 l 的斜率存在， 设为 k，则 l：ykx3， 1，解得 k ，此时|k 2|k2 1 34l：y x3，即 3x4y 120，故 选 B.34二、填空题9过原点且与直线 x y10 平行的直线 l 被圆 x2(y )27 所截6 3 3得的弦长为_2 由题意可得 l 的方程为 xy0，圆心(0， )到 l 的距离为 d1，6 2 3所求弦长2 2 2 .R2 d2 7 1 610已知 f(x)x 3ax2b，如果 f(x)的图象在切点 P(1，2)处的切线与圆(x 2)2( y4) 25 相切，那么 3a2b_.7 由题意得 f(1)2a2b3，又f(x
8、)3x 2a，f(x)的图象在点 P(1， 2)处的切线方程为 y2(3a)( x1)，即(3a)xy a50， a ，b ，|3 a2 4 a 5|3 a2 12 5 52 143a2b7.11(2018南京模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx y2m10(mR )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(x 1)2y 22 直线 mxy2m 10 恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径 r .1 22 0 12 2故所求圆的标准方程为(x1) 2y 22.12(2018九江模拟 )某学校有 2 500 名学生，其中高一 1 000 人，高二 9
9、00人，高三 600 人为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为 a，b，且直线axby80 与以 A(1，1)为圆心的圆交于 B， C 两点，且BAC 120，则圆的方程为_(x 1)2(y1) 2 由题意， ，a40，b24， 直线1817 1002 500 a1 000 b600axby80，即 5x3y10， A(1， 1)到直线的距离 为 ，|5 3 1|25 9 334直线 5x3 y10 与以 A(1， 1)为圆心的圆相交于 B，C 两点，且BAC 120 ，r ，圆的方程为(x1) 2(y1) 2 .634 1
10、817三、解答题13已知点 P(2,2)，圆 C：x 2y 28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于，A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当| OP|OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积解 (1)圆 C 的方程可化 为 x2(y4) 216，所以圆心为 C(0,4)，半径 为 4.设 M(x，y)，则 ( x，y4) ， (2x,2y)CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2x) (y4)(2 y)0，即(x1) 2(y3) 22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是( x1) 2(y3) 22.(2)由(
11、1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆2由于|OP |OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而ONPM .因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 ，13故 l 的方程为 y x .13 83又|OM |OP|2 ，O 到 l 的距离 d 为 ，24105所以|PM|2 ，|OP|2 d24105所以POM 的面积为 SPOM |PM|d .12 165(教师备选)已知直线 l：4x3y 100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C
12、 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)设圆心 C(a,0) ，则 2a 0 或 a5(舍)(a 52) |4a 10|5所以圆 C：x2y 24.(2)当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk (x1)，N(t,0)，A(x 1，y1)，B(x2，y2)由Error!得(k 21)x 22k 2xk 240.所以 x1x 2 ，x1x2 .2k2k2 1 k2 4k2 1若 x 轴平分 ANB，则kANk BN 0 02x 1x2(t1)(x 1x 2)y1x1 t y2x2 t kx1 1x1 t kx2 1x2 t2t 0 2t0t4，2k2 4k2 1 2k2t 1k2 1所以当点 N 为(4,0)时，能使得ANMBNM 总成立
