1、第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、 直线的方程,【教材基础回顾】 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正 向与直线l_之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴_时,倾斜角为0.,向上方向,平行或重合,(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是_ 或_.,0180,0,),2.直线的斜率公式 (1)直线的倾斜角(且90)的正切值就是斜率, 即k=_(090或90180). (2)经过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1x2)的直线 的斜率为k=_.,tan ,3.直线方程的五种形式 点斜式:y-y1=k(x-x1)(xx1). 斜
2、截式:y=kx+b. 两点式: (x1x2,y1y2). 截距式: =1(ab0). 一般式:Ax+By+C=0(A2+B20).,【金榜状元笔记】 1.斜率与倾斜角的两个关注点 (1)倾斜角的范围是0,),斜率 与倾斜角的函数关系为k=tan , 图象为:,(2)当倾斜角为90时,直线垂直于x轴,斜率不存在.,2.一个重要区别 截距与距离,这是两个不同的概念,截距是直线与x轴交点的横坐标,与y轴交点的纵坐标,截距可以是正数、负数,也可以是零,但是距离是非负数.,3.两个注意事项 (1)涉及截距时,要注意直线过原点的特殊情况,不可忽略. (2)在求直线方程时,要注意分类讨论:斜率存在,斜率不存
3、在两种情形.,【教材母题变式】 1.直线l:xsin 30+ycos 150+a=0的斜率为 ( ),【解析】选A.设直线l的斜率为k,则,2.已知直线l1的倾斜角为,斜率为 ,直线l2经过不重合的两个点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)且倾斜角为2,则m的值为 ( ) A.-1 B.-1或- C.- D.1,【解析】选C.由已知直线l2的斜率为k=tan 2=解得m=-1或- .当m=-1时,A(3,-2), B(3,-2),重合, 舍去.所以m=- .,3.直线l在y轴上的截距为-2,斜率为直线2x+3y=0的斜率的3倍,则直线l的一般式方程为_.,【解析】因为直线2x+3
4、y=0的斜率为- ,所以直线l 的斜率为3 =-2,所以直线l的方程为y=-2x-2, 一般式方程为2x+y+2=0. 答案:2x+y+2=0,4.已知直线过点P(-1,2),在x,y轴上的截距分别为a,b,且a=2b,则直线的方程为_.,【解析】当a=2b=0时,直线过原点,直线的方程为y=-2x; 当a=2b0时,设直线方程为 =1,因为直线经过点 P(-1,2),所以 =1,解得b= ,所以直线方程为 即x+2y-3=0, 所以所求直线的方程为2x+y=0或x+2y-3=0. 答案:2x+y=0或x+2y-3=0.,【母题变式溯源】,考向一 求直线的倾斜角、斜率 【典例1】(1)若直线l
5、:y=kx- 与直线2x+3y-6=0的 交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围 是 ( ),(2)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围为_.,【解析】(1)选B.由题意,可作两直线的图象,如图所示, 从图中可以看出,直线l的倾斜角的取值范围为 .,(2)如图,由斜率公式,得,kAP= =-4, kBP= 所以k 或k-4. 答案:k-4或k,【巧思妙解】典例(1)中由于两直线交点位于第一象 限,所以直线l的倾斜角的取值范围不可能为闭区间, 排除A、D,当直线l的倾斜角为 时,由交点在第一象限内,排除C,选B.,【一
6、题多变】 1.若(1)中改为交点位于第二象限,则直线l的斜率的取值范围是 ( ) A.- 0或k-,【解析】选B.如图,因为两条直线的交点在第二象限, 所以当直线l绕点(0,- )自y轴逆时针旋转到与直线2x+3y-6=0平行时无交点,所以k的取值范围是k- .,2.若(1)中改为交点位于第四象限,则直线l的斜率的取值范围是_.,【解析】如图,因为两条直线的交点在第四象限,所以 当直线l绕点(0,- )自直线y= x- 顺时针方向旋 转到与直线2x+3y-6=0平行时无交点,所以k的取值范围 是- k .,答案:- k,3.若(2)中的条件改为直线l过点P(1,1)且与直线AB的交点在线段AB
7、的反向延长线上,则直线l的斜率k的取值范围为_.,【解析】如图,直线l绕点P(1,1)自直线PA逆时针方向 旋转到与直线AB平行时,符合题意,所以直线l的斜率k 的取值范围为(-4,- ) 答案:(-4,- ),【技法点拨】 斜率取值范围的三种求法 (1)数形结合法:作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定.,(2)构建不等式法:利用不等式所表示的平面区域的性质,构造不等式求范围. (3)利用函数的图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可.,【拓展】 直线倾斜角的范围是0,),但这个区间不是正切函 数的单调区间.因此在考虑倾斜角与斜率的关系时,要 分 两种情况讨论
8、.由正切函数图象可以看 出,当 时,斜率k0,+);当= 时,斜率 不存在;当 时,斜率k(-,0).,【同源异考金榜原创】 1.设平面区域M是由直线x+y=0,3x-4y-3=0,及曲线 y=2 围成,若过点P 的直线l与平面区域M有 公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( ) 世纪金榜导学号37680248,【解析】选C.如图,当直线l与曲线y=2 相切时直线l 的斜率为 ,切点为(4,4),所以淘汰B,D,因为直线PO 的斜率为-1,所以淘汰A.,2.三个不同的点A(2,3),B(-1,5),C(x,x2+2x+6)共线,则实数x的值为_.,【解析】因为三个不同的点A(2,3),B(-1
9、,5), C(x,x2+2x+6)共线,所以由斜率公式得 解得x=-1或- ,当x=-1时,点C,B重合,舍去. 所以x=- . 答案:-,考向二 求直线的方程 【典例2】求适合下列条件的直线方程: (1)过点A(-1,-3),倾斜角是直线y=3x的倾斜角的2倍. (2)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等.,【解析】(1)设直线y=3x的倾斜角为,则tan =3, 所以依题意所求直线的斜率为k=tan 2= 又直线经过点A(-1,-3),代入点斜式方程 得所求直线方程为y+3=- (x+1), 即3x+4y+15=0.,(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a, 当a=0时,直线l过点
10、(0,0)和(3,2), 所以直线l的方程为y= x,即2x-3y=0. 当a0时,设l的方程为,因为直线l过点(3,2),所以 =1,解得a=5, 所以l的方程为x+y-5=0, 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,【误区警示】本例(2)中容易出现忽略直线过原点的错误,造成错误的原因是对“截距”的概念理解不透彻,截距可以为零,为负数,为正数.,【答题模板微课】求直线方程的模板化过程 本例(1)的求解过程可模板化为: 建模板:设直线y=3x的倾斜角为,则tan =3,所以依题意所求直线的斜率为k=tan 2= 求斜率.又直线经过点A(-1,-3), 代入点斜式方程得所求直
11、线方程为y+3=- (x+1), 代方程 即3x+4y+15=0.整理,套模板:已知直线经过P(20,-19),倾斜角的余弦值为 - ,则直线的方程为_.,套模板: 设直线的倾斜角为(0),则cos =- , 所以所求直线的斜率为k=tan =- 求斜率 又直线经过点P(20,-19),代入点斜式方程,得所求直线方程为y+19=- (x-20),代方程 即4x+3y-23=0.整理 答案:4x+3y-23=0,【技法点拨】 求直线方程的注意事项 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.,(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑
12、斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零). (3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.,【同源异考金榜原创】 1.已知直线过点P(1,1),倾斜角为,sin = , 则直线的一般式方程为_.,【解析】因为倾斜角为0,),sin = , 所以tan = 或tan =- ,所以斜率为k= 或 k=- .所以直线方程为y-1= (x-1)或y-1= - (x-1), 即x-2y+1=0或x+2y-3=0. 答案:x-2y+1=0或x+2y-3=0,2.求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程. 世纪金榜导学号37680249,【解析】当直
13、线不过原点时, 设所求直线方程为 将(-5,2)代入所设方程得 解得a=- ,此时,直线方程为x+2y+1=0. 当直线过原点时,斜率k=- , 直线方程为y=- x,即2x+5y=0, 综上可知,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.,考向三 直线方程的综合应用,【典例3】(1)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是_.,(2)如图,在两条互相垂直的道路l1,l2的一角,有一个电线杆,电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米,到道路l2的垂直距离为3米,现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道,
14、使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小,则人行道的长度为_米.,(3)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=_. 世纪金榜导学号37680250,【解析】(1)由直线x+my=0求得定点A(0,0),直线mx-y- m+3=0,即y-3=m(x-1),所以得定点B(1,3).当m=0时,两 条动直线垂直,当m0时,因为 m=-1,所以两条动直 线也垂直,因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|PB|
15、=5(当且仅当|PA|=|PB|= 时,等号成立),所以|PA|PB|的最大值是5. 答案:5,(2)如图建立平面直角坐标系,设人行道所在直线方程为y-4=k(x-3)(k0), 所以A(3- ,0),B(0,4-3k),所以ABO的面积 S= 因为k0,所以-9k- =24,当且仅当-9k=- 即k=- 时取等号.此时,A(6,0),B(0,8),所以人行 道的长度为10米. 答案:10,(3)由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截 距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积 S= 2(2-a)+ 2(a2+2)=a2-a+4,所以当a= 时, 面积最小.
16、答案:,【技法点拨】 设直线方程的常用技巧 (1)已知直线纵截距为b时,常设其方程为y=kx+b或y=b. (2)已知直线横截距为a时,常设其方程为x=my+a. (3)已知直线过点(x0,y0),且k存在时,常设y-y0= k(x-x0).,【拓展】直线系方程 (1)定点直线系方程: 过定点P(x0,y0)的直线方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0.,(2)交点直线系方程: 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,l1与l2相交,则过两直线交点的直线方程为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0.当=0时,方程表示直线l2;当=0时,方
17、程表示直线l1.,【同源异考金榜原创】 命题点1 与基本不等式相结合求最值问题 1.若直线 =1(a0,b0)过点(20,18),则5a+2b 的最小值等于( ) A.256 B.240 C.304 D.2 018,【解析】选A.因为直线 =1(a0,b0)过点(20,18), 所以 =1,所以b= ,所以5a+2b=5a+2 =5(a-20)+ +136 +136=256 (当且仅当a=32,b=48时取等号),所以5a+2b的最小值 为256.,【一题多解】选A.因为直线 =1(a0,b0)过点 (20,18),所以 =1,所以5a+2b=(5a+2b) =136+ 136+2 =136+
18、120=256 (当且仅当 即a=32,b=48时取等号), 所以5a+2b的最小值为256.,【易错提醒】本小题容易出现选B的错误,错误解答过 程:因为直线 =1(a0,b0)过点(20,18),所以=1,所以1= ,即 所以5a+2b =240, 所以5a+2b240,故5a+2b的最小值为240.,造成错误的原因是忽略了基本不等式取等号的条件,第一个不等式取等号的条件是a=40,b=36,第二个不等式取等号的条件是5a=2b,所以两个等号不能同时成立,所以最小值是240是错误的.,命题点2 有关直线方程的应用问题 2.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外EFA
19、内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大? 世纪金榜导学号37680251,【解析】如图所示,建立平面直角坐标系, 则E(30,0),F(0,20), 所以直线EF的方程为=1(0x30).,易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时,可取最大值,在线段EF上取点P(m,n),作PQBC于点Q, PRCD于点R,设矩形PQCR的面积为S, 则S=|PQ|PR|=(100-m)(80-n). 又 =1(0m30),所以n=20- m. 所以S=(100-m) =- (m-5)2+ (0m30). 所以当m=5时,S有
20、最大值,这时 =51.,所以当草坪矩形的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分有向线段EF成51时,草坪面积最大.,命题点3 由直线方程求参数问题 3.函数y=loga(x-2)-4(a0,a1)的图象恒过定点A,直线kx-y+1+2k=0(kR)恒过定点B,则直线AB的方程为_. 世纪金榜导学号37680252,【解析】由已知得定点A(3,-4),因为kx-y+1+2k=0 (kR)可以写成y-1=k(x+2),所以定点B(-2,1), 所以直线AB的方程为 ,即x+y+1=0. 答案:x+y+1=0,核心素养系列（四十五） 直观想象求直线方程中的核心素养以平面直角坐标系为桥
21、梁,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质,即利用数形结合的方法思考问题,体现了直观想象的核心素养.,【典例】已知如图,在平面直角坐标系中,等腰ABC的顶点B(1,0),C(2,3),ACBC,求三条边所在直线的方程.,【解析】因为直线BC经过两点B(1,0),C(2,3),所以斜 率为kBC= =3,所以BC边所在直线方程为y-3=3(x-2), 即3x-y-3=0.,由于ABC是等腰直角三角形,所以ABC=45,设 CBx为,所以tan =3,边AB所在直线的倾斜角为 +45,所以斜率为kAB=tan(+45)= 所以边AB所在直线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0.,因为ACBC,所以kAC= ,所以边AC所在直线 的方程为y-3=- (x-2),即x+3y-11=0. 综上所述,三边BC,AB,AC所在直线方程分别为 3x-y-3=0,2x+y-2=0,x+3y-11=0.,
