1、第四节 数 列 求 和,【教材基础回顾】 1.等差数列的前n项和公式,2.等比数列的前n项和公式,3.四个必备公式 (1)1+2+3+4+n= . (2)1+3+5+7+2n-1=n2. (3)2+4+6+8+2n=n2+n. (4)12+22+n2= .,【金榜状元笔记】 1.求和的必会方法 数列求和的常见方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组转化法、并项转化法等.,2.一个注意事项 利用公式法求等比数列的前n项和时,容易忽视分q=1和q1两种情况讨论.,【教材母题变式】 1.数列an中,an= ,若an的前n项和为 , 则项数n为( ) A.2 015 B.2 016 C.
2、2 017 D.2 018,【解析】选C.an= 所以n=2 017.,2.等比数列an中,若a1=27,a9= ,q0,Sn是其前n项和,则S6=_.,【解析】由a1=27,a9= 知, =27q8,又由q0,解得q= ,所以S6= 答案:,3.若log2an是首项为1,公差为2的等差数列,则数列nan的前n项和Sn=_.,【解析】依题意log2an=1+(n-1)2=2n-1,所以an= 22n-1,nan=n22n-1,设其前n项和为Sn,则Sn=12 +223+n22n-1,两边乘以4得到4Sn=123+ 225+n22n+1,两式相减得-3Sn=2+23+22n-1-n22n+1=
3、-n22n+1,化简得Sn= 答案:,4.(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他 们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软 件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2, 1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22, 依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该 数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码 是 ( ) A.440 B.330 C.220 D.110,【解析】选A.由题意得,数列如下: 1, 1,2, 1,2,4
4、, 1,2,4,2k-1 ,则该数列的前1+2+k= 项和为 =1+ (1+2)+(1+2+2k-1)=2k+1-k-2, 要使 100,有k14,此时k+22k+1,所以k+2是 之后的等比数列1,2,2k的部分和,即k+2=1+2+ 2t-1=2t-1, 所以k=2t-314,则t5,此时k=25-3=29, 对应满足的最小条件为N= +5=440.,【一题多解】本小题还可用以下方法求解: 选A.前14行,有105个数,求和为215-16,当N=110时,求和为215-16+25-1=215+152n, 前20行,有210个数,求和为221-22,当N=220时,求和为221-22+210
5、-1=221+210-232n,前25行,有325个数,求和为226-27,当N=330时,求和为226-27+25-1=226+25-282n, 前29行,有435个数,求和为230-31,当N=440时,求和为230-31+25-1=230,故选A.,【母题变式溯源】,考向一 分组转化法求和 【典例1】(1)若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为 ( ) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2,(2)已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是
6、 世纪金榜导学号37680175( ) A.13 B.76 C.46 D.-76,【解析】(1)选C.Sn=a1+a2+a3+an =(21+21-1)+(22+22-1)+(23+23-1)+(2n+2n-1) =(2+22+2n)+2(1+2+3+n)-n=2(2n-1)+n2+n-n =2n+1+n2-2.,【巧思妙解】选C.(特值验证)n=1时,S1=a1=3,排除 A,B,D,故选C.,(2)选D.因为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3), 所以S15=(1-5)+(9-13)+(49-53)+57=(-4)7 +57=29,S22=(1-5)+(9-13)
7、+(17-21)+(81-85)= -411=-44,S31=(1-5)+(9-13)+(17-21)+(113- 117)+121=-415+121=61,所以S15+S22-S31=29-44-61 =-76.,【技法点拨】 分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用 分组求和法求an的前n项和. (2)通项公式为an= 的数列,其中数列bn, cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.,【同源异考金榜原创】 1.已知数列an的通项公式是an=2n- ,则其前20项和为 ( ) A.379+ B.399+ C.419+ D.439+,【解析
8、】选C.令数列an的前n项和为Sn,则S20= a1+a2+a3+a20=,2.若数列an是2,2+22,2+22+23,2+22+23+2n,则数列an的前n项和Sn=_.,【解析】an=2+22+23+2n = =2n+1-2, 所以Sn= = -2n=2n+2-4-2n. 答案:2n+2-4-2n,考向二 错位相减法求和 【典例2】(2018青岛模拟)已知an 是各项均为正数的等比数列,bn是等 差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.,(1)求an和bn的通项公式. (2)设cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项和Sn.,【解析】(1)设数列an的公比为q,
9、数列bn的公差 为d, 由题意知q0. 由已知,有 消去d,整理得q4-2q2-8=0. 因为q0,解得q=2,所以d=2.,所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*; 数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*. (2)由(1)知cn=(2n-1)2n-1, 设cn的前n项和为Sn,则 Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3, 所以,Sn=(2n-3)2n+3,
10、nN*.,【答题模板微课】本例(2)的求解过程可模板化为: 建模板: “由(1)知cn=(2n-1)2n-1”, 写通项 “故Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1”, 写前n项和,“2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+ (2n-1)2n”, 乘公比 “上述两式相减,得 -Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n= -(2n-3)2n-3, 错位相减 所以Sn=(2n-3)2n+3(nN*). 整理出结果,套模板: 已知an=2n-1,bn=2n+1,cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn,【解析】由题知
11、cn=anbn=(2n+1)2n-1, 写通项 故Tn=320+521+722+(2n+1)2n-1, 写前n项和 2Tn=321+522+723+(2n+1)2n, 乘公比 上述两式相减,得,-Tn=3+22+23+2n-(2n+1)2n 错位相减,=3+ -(2n+1)2n =(1-2n)2n-1 得Tn=(2n-1)2n+1. 整理出结果 所以数列cn的前n项和为(2n-1)2n+1,【误区警示】用错位相减法求和时容易出现以下两点错误:(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n-1项和当作n项和.,【一题多变】把本例中的条件改为“数
12、列an是首项 为2的等差数列,其前n项和Sn满足4Sn=anan+1 ,数列 bn是以 为首项的等比数列,且b1b2b3= ”,(1)求 数列an,bn的通项公式.(2)若cn=anbn,求数列cn 的前n项和Tn.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d, 等比数列bn的公比为q, 由题意得4a1=a1(a1+d),解得d=2,所以an=2n, 由b1b2b3= 解得b2= , 从而公比q= ,所以bn=,(2)cn=2n,上述两式相减,得所以Tn=4-(2+n) , 所以数列cn的前n项和Tn=4-(2+n) .,【技法点拨】 利用错位相减法的一般类型及思路 (1)适用的数列类型:anbn
13、,其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.,(2)思路:设Sn=a1b1+a2b2+anbn(*), 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*), (*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就转化成了根据公式可求的和.,【同源异考金榜原创】 已知数列an的首项a1=3,前n项和为Sn,an+1=2Sn+3, nN*. 世纪金榜导学号37680176 (1)求数列an的通项公式. (2)设bn=log3an,求数列 的前n项和Tn,并证明: Tn .,【解析】(1)由an+1=2Sn+3, 得an=2Sn-1+3(
14、n2), 两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an, 故an+1=3an(n2), 所以当n2时,an是以3为公比的等比数列.,因为a2=2S1+3=2a1+3=9, =3, 所以an是首项为3,公比为3的等比数列,an=3n. (2)an=3n,故bn=log3an=log33n=n,-,得,所以Tn= 因为 0,所以Tn0, 所以数列Tn单调递增,所以(Tn)min=T1= , 所以 Tn .,考向三 裂项相消法求和 高频考点,【典例3】(1)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. 世纪金榜导学号37680177 求数列an的通项公式; 设Sn为数列a
15、n的前n项和,bn= ,求数列bn 的前n项和Tn.,(2)已知正项数列an的前n项和为Sn,且Sn,an, 成等 差数列.世纪金榜导学号37680178 求数列an的通项公式; 若bn=log2an+2,设数列 的前n项和为Tn,证明Tn1.,【解析】(1)因为数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.所以 =8q=2an=a1qn-1=2n-1. 由可知Sn= =2n-1,所以bn= 所以Tn= (2)由题意Sn,an, 成等差数列, 2an=Sn+ ,当n=1时,2a1=a1+ ,所以a1= , 当n2时,Sn=2an- ,Sn-1=2an-1- . 两式相减得an=2a
16、n-2an-1,所以an=2an-1. 由an为正项数列,an0,所以 =2(n2), 因此数列an是以 为首项,2为公比的等比数列,即an=2n-2.,bn=log2an+2=log2 2n-2+2=n,则Tn= 因为 1- 1,所以 Tn1.,【技法点拨】 常见的裂项方法(其中n为正整数),提醒:利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.,【同源异考金榜原创】 命题点1 裂项相消法求数列的前n项和 1.等比数列an的各项均为正数,且4a1+
17、16a2=1, a32=4a2a5. 世纪金榜导学号37680179 (1)求数列an的通项公式. (2)设bn=-log2an,cn= ,求数列cn的前n项和.,【解析】(1)设数列an的公比为q. 由a32=4a2a5得a2a4=4a2a5,所以q= . 由4a1+16a2=1得a1= , 故数列an的通项公式为an=,(2)由题可知bn=-log2an=2n+1, cn= 故数列cn的前n项和所以数列cn的前n项和为 .,命题点2 数列与不等式的综合问题 2.已知数列an满足:a1=1,an+1(1+2an)=an. 世纪金榜导学号37680180 (1)求数列an的通项公式. (2)设
18、数列anan+1的前n项和为Tn,求证:Tn .,【解析】(1)因为an+1(1+2an)=an,所以 =2,所 以 是以2为公差的等差数列, 因为a1=1,所以 =1,所以 =2n-1, 所以数列an的通项公式为an=,(2)由(1)得anan+1=,核心素养系列（三十二） 数学运算数列与三角函数综合问题中的核心素养以学习过的数列与三角函数的相关知识为基础,从题设条件出发,依据运算法则和公式进行一系列的数学运算,从而使问题得以解决.,【典例】已知函数f(x)= 函数 y=f(x)- 在 上的零点按从小到大的顺序构成 数列an(nN*). (1)求数列an的通项公式. (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Sn.,【解析】(1)f(x)= = =tan x,由tan x= 及x0得x=k+ (kN),数列an是首项 a1= ,公差d=的等差数列,所以an= +(n-1) =n- .,
