1、1.3 平面向量与复数,-2-,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,平面向量的线性运算 【思考】 向量线性运算的解题策略有哪些?,例1(1)(2018全国,文7)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 =( ),答案,解析,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,题后反思向量线性运算有两条基本的解题策略:一是共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则;二是找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.,-5-,命题热点一,命题热点二,命题
2、热点三,命题热点四,命题热点五,A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) (2)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m= .,A,-6,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,平面向量数量积的运算 【思考】 求平面向量数量积有哪些方法?,例2(1)(2018天津,文8),A.-15 B.-9 C.-6 D.0 (2)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b|,答案,解析,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,题后反思平面向量数量
3、积的计算方法: (1)已知向量a,b的模及夹角,利用公式ab=|a|b|cos 求解. (2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (3)对于向量数量积与线性运算的综合问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,对点训练2(1)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点
4、四,命题热点五,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,平面向量的垂直与夹角问题 【思考】 如何求两个向量的夹角? 例3(1)已知向量 则ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120,(2)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .,答案 (1)A (2)7,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,平面向量的垂直与夹角问题 【思考】 如何求两个向量的夹角? 例3(1)已知向量 则ABC=( ) A.30 B.45 C.60 D.120,(2)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a
5、+b与a垂直,则m= .,答案,解析,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,题后反思1.求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos = (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题. 2.确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线两向量的夹角为钝角.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,对点训练3(1)已知向量a=(1, ),b=( ,1),则a与b夹角的大小为 . (2)已知向量a=(-2,3),b=(3,
6、m),且ab,则m= .,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,复数的概念及运算 【思考】 复数运算的一般思路是怎样的?,例4(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) (2)(2018全国,文2)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i,答案 (1)C (2)D 解析 (1)i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i, (1+i)2=2i为纯虚数,故选C. (2)(1+i)(2-i)=2+i
7、-i2=3+i.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,题后反思利用复数的四则运算求复数的一般思路: (1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简. (3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,对点训练4(1)若a为实数,且 =3+i,则a= ( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 (2)(1+i)(2+i)=( ) A.1-i B.1+3i C.3+
8、i D.3+3i,答案(1)D (2)B 解析 (1)由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4. (2)(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,复数的几何表示 【思考】 如何判断复数在复平面上的位置? 例5复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 C 解析 由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.,题后反思判断复数对应的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,
9、bR)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题热点五,对点训练5(2018北京,文2)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,D,-20-,规律总结,拓展演练,1.解决向量问题的基本思路:向量是既有大小又有方向的量,具有几何和代数形式的“双重性”,一般可以从两个角度进行思考,一是利用其“形”的特征,将其转化为平面几何的有关知识进行解决;二是利用其“数”的特征,通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决. 2.平面向量运算的解题策略:平面向量运算主要包括向量
10、运算的几何意义、向量的坐标运算以及向量的数量积运算. (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合,利用平行四边形、三角形法则求解. (2)已知条件中涉及向量的坐标运算,需建立坐标系,用坐标运算公式求解.,-21-,规律总结,拓展演练,(3)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算;求向量的数量积时,若题目中有两条互相垂直的直线,则可以建立平面直角坐标系,引入向量的坐标,将问题转化为代数问题解决,简化运算. (4)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程. 3.利用数量积求解长度问题的处理方法:,-22-,规律总结,拓展演练,-23-,规律总结,拓展演练,1.已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.2i B.-2i C.2 D.-2,A,解析 (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.,D,-24-,规律总结,拓展演练,D,-25-,规律总结,拓展演练,3,-26-,规律总结,拓展演练,-27-,规律总结,拓展演练,5.已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= , ab= .,答案5 2 解析 由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2+b2=5,ab=2.,
